Resolva o problema de valor inicial abaixo:
l d yd x-yx=x y(1)=e-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver isso, precisamos entender como encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar e solucionar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares. A equação que temos é:
dydx - yx = x
Podemos reescrever isso como:
dydx + P(x) y = Q(x)
Onde $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = x $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $. Esse fator é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -\frac{1}{x} $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = \frac{1}{x} $:
mu(x) = 1x
Isso nos deixa com uma equação que pode ser reescrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
1x cdot dydx - yx^2 = 1

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso resulta em:
integral ddx(yx) , dx = integral 1 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para $ y $:
y
Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = e - 1 $ para encontrar $ C $:
y = x(x + C) = x^2 + Cx

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = x^2 + (e - 2)x

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