Resolva o problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver isso, precisamos entender como encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar e solucionar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares. A equação que temos é:
Podemos reescrever isso como:
Onde $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = x $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $. Esse fator é dado por:
Substituindo $ P(x) = -\frac{1}{x} $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = \frac{1}{x} $:
Isso nos deixa com uma equação que pode ser reescrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para $ y $:
Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = e - 1 $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: