Resolva as EDs utilizando separação de variáveis, e explicite a solução quando necessário.
y^prime=y^2 cdot sen x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
y' = y^2 cdot sen x
e pede para resolver por separação de variáveis. Para isso vamos escrever y'=dy/dx, separar y de um lado e x do outro, integrar e encontrar a constante de integração.

Passo 2

Escrevendo a derivada como dydx e separando as variáveis, obtemos
dyy^2 = sen x ,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy^2 = integral sen x ,dx
O lado esquerdo dá
integral y^-2 dy = -,1y,
e o lado direito dá
integral sen x ,dx = -cos x + C,
onde C é a constante de integração. Logo
-,1y = -cos x + C

Passo 4

Multiplicando por -1 e isolando y, vem
1y = cos x + C',
onde C'=-C é outra constante arbitrária. Invertendo, obtemos a solução geral não trivial
y(x) = 1cos x + C'
Além disso, note que y(x)equiv 0 também satisfaz a equação original (solução trivial).

Resposta

A família de soluções é
y(x) = 1cos x + C, CinR,
e inclui a solução trivial
y(x)equiv 0

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