- (
Questão - 1,0 ponto) Calcule o valor do limite abaixo:
(100)
(100)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite trigonométrico que é o seguinte:
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento dessas funções perto de
e, possivelmente, utilizar uma técnica chamada Regra de L’Hospital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de
:
-
, então tende a . -
, então também tende a .
Assim, o limite está no formato indeterminado
, o que significa que precisamos usar uma técnica especial para encontrá-lo.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação desse tipo
, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que se:
Então, podemos calcular o limite das derivadas das funções:
Vamos aplicar isso aqui:
- A função do numerador é
. A derivada de é:
- A função do denominador é
. A derivada de é:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Simplificando os sinais negativos, temos:
Agora, substituímos
por
:
Resposta
O limite é igual a 0.