• ( Questão - 1,0 ponto) Calcule o valor do limite abaixo:
    (100)
é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite trigonométrico que é o seguinte:
lim x pi2 1 - sin xcos x
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento dessas funções perto de x = pi2 e, possivelmente, utilizar uma técnica chamada Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de pi2 :
  • sin(pi2) = 1 , então 1 - sin x tende a 0 .
  • cos(pi2) = 0 , então cos x também tende a 0 .
Assim, o limite está no formato indeterminado 00 , o que significa que precisamos usar uma técnica especial para encontrá-lo.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação desse tipo 00 , uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que se:
limx to c f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty
Então, podemos calcular o limite das derivadas das funções:
limx to c f'(x)g'(x)
Vamos aplicar isso aqui:
  • A função do numerador é f(x) = 1 - sin x . A derivada de f(x) é:
f'(x) = -cos x
  • A função do denominador é g(x) = cos x . A derivada de g(x) é:
g'(x) = -sin x

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
lim x pi2 f'(x)g'(x) = lim x pi2 -cos x- sin x = lim x pi2 cos xsin x
Simplificando os sinais negativos, temos:
lim x pi2 cos xsin x
Agora, substituímos x por pi2 :
cos(pi2)sin(pi2) = 01 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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