Resolva as EDs utilizando separação de variáveis, e explicite a solução quando necessário.
y^prime=x y2 ln y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = x,y2,ln y
O conteúdo aqui é separação de variáveis: vamos agrupar todos os termos com y num lado e os com x no outro, e então integrar.

Passo 2

Pressupomos y>0 para ln y estar definido. Reescrevendo a EDO, temos
dydx = x,y2,ln y
Separamos as variáveis:
2,ln yy,dy = x,dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral 2,ln yy,dy = integral x,dx
Para a integral à esquerda, fazemos a substituição u = ln y, de onde du = tfracdyy. Logo
2integral u,du = u^2 + C1,
enquanto o lado direito é
x^22 + C2
Igualando e reunindo as constantes num único C, obtemos a forma implícita
(ln y)^2 = x^22 + C

Passo 4

Para explicitar y, extraímos raiz quadrada:
ln y = pm raizx^22 + C
Como y>0, concluímos
y = exp!l(pm raiztfracx^22 + Cr),
onde o sinal pm representa as duas famílias de soluções gerais.

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
(ln y)^2 = x^22 + C
ou, explicitamente, por
y = exp!l(pm raiztfracx^22 + Cr)

Exercícios relacionados