Resolva:
Encontre o polinômio de Taylor de grau n da função f(x)=pi^x em torno de x0=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau $ n $ da função $ f(x) = \pi^{x} $ em torno de $ x_{0} = 0 $. Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de séries de Taylor. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função $ f(x) $ e avaliar essas derivadas no ponto $ x_{0} = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele serve para aproximar uma função por um polinômio em torno de um ponto específico. A fórmula geral é:
Pn(x) = sumk=0^n f^(k)(x0)k! (x - x0)^k
No nosso caso, $ x_0 = 0 $, então a fórmula fica:
x0 = 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ f(x) = \pi^{x} $. Sabemos que a derivada de $ a^{x} $ em relação a $ x $ é $ a^{x} \ln(a) $. Então, a primeira derivada é:
f(x) = pi^x
A segunda derivada será:
a^x
E assim por diante, percebendo que a $ k $-ésima derivada é:
x

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ x = 0 $:
x = 0

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor, temos:
Pn(x) = sumk=0^n (ln(pi))^kk! x^k
Isso significa que o polinômio de Taylor de grau $ n $ para $ f(x) = \pi^{x} $ em torno de $ x_0 = 0 $ é a soma dos termos $ \frac{(\ln(\pi))^k}{k!} x^k $ de $ k = 0 $ até $ k = n $.

Resposta

O polinômio de Taylor de grau $ n $ da função $ f(x) = \pi^{x} $ em torno de $ x_{0} = 0 $ é:
n

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