Resolva:
Encontre o polinômio de Taylor de grau
da função
em torno de
.
Encontre o polinômio de Taylor de grau
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau $ n $ da função $ f(x) = \pi^{x} $ em torno de $ x_{0} = 0 $. Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de séries de Taylor. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função $ f(x) $ e avaliar essas derivadas no ponto $ x_{0} = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele serve para aproximar uma função por um polinômio em torno de um ponto específico. A fórmula geral é:
No nosso caso, $ x_0 = 0 $, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ f(x) = \pi^{x} $. Sabemos que a derivada de $ a^{x} $ em relação a $ x $ é $ a^{x} \ln(a) $. Então, a primeira derivada é:
A segunda derivada será:
E assim por diante, percebendo que a $ k $-ésima derivada é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ x = 0 $:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor, temos:
Isso significa que o polinômio de Taylor de grau $ n $ para $ f(x) = \pi^{x} $ em torno de $ x_0 = 0 $ é a soma dos termos $ \frac{(\ln(\pi))^k}{k!} x^k $ de $ k = 0 $ até $ k = n $.
Resposta
O polinômio de Taylor de grau $ n $ da função $ f(x) = \pi^{x} $ em torno de $ x_{0} = 0 $ é: