Resolva:
Mostre que a igualdade abaixo é válida.
Mostre que a igualdade abaixo é válida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a igualdade abaixo é válida:
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor, que são uma forma de representar funções como somas infinitas de termos. Vamos precisar entender como a série de Taylor da função $ e^x $ funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor da função exponencial $ e^x $. A série é dada por:
Aqui, cada termo adicional envolve potências de $ x $ divididas por fatorial do expoente. Essa série aproxima o valor de $ e^x $ quanto mais termos incluímos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa série ao nosso caso específico. Observe que na nossa igualdade queremos encontrar uma expressão para $ \pi $. Sabemos que $ e^{\ln(\pi)} = \pi $ porque a função exponencial e o logaritmo natural são funções inversas.
Vamos substituir $ x $ por $ \ln(\pi) $ na série de Taylor de $ e^x $:
Como $ e^{\ln(\pi)} = \pi $, a série fica:
Resposta
Portanto, mostramos que a igualdade dada é válida usando a série de Taylor da função exponencial. Assim, temos: