Resolva:
Mostre que a igualdade abaixo é válida.
pi=1+ln (pi)+ln ^2(pi)2!+ln ^3(pi)3!+cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a igualdade abaixo é válida:
pi = 1 + ln(pi) + (ln pi)^22! + (ln pi)^33! + cdots
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor, que são uma forma de representar funções como somas infinitas de termos. Vamos precisar entender como a série de Taylor da função $ e^x $ funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor da função exponencial $ e^x $. A série é dada por:
e^x
Aqui, cada termo adicional envolve potências de $ x $ divididas por fatorial do expoente. Essa série aproxima o valor de $ e^x $ quanto mais termos incluímos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa série ao nosso caso específico. Observe que na nossa igualdade queremos encontrar uma expressão para $ \pi $. Sabemos que $ e^{\ln(\pi)} = \pi $ porque a função exponencial e o logaritmo natural são funções inversas.
Vamos substituir $ x $ por $ \ln(\pi) $ na série de Taylor de $ e^x $:
pi
Como $ e^{\ln(\pi)} = \pi $, a série fica:
e^ln(pi) = pi

Resposta

Portanto, mostramos que a igualdade dada é válida usando a série de Taylor da função exponencial. Assim, temos:
pi = 1 + ln(pi) + (ln pi)^22! + (ln pi)^33! + cdots

Exercícios relacionados