Resolva as equaçÔes abaixo. Use um fator integrante para equaçÔes exatas, se preciso.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial 2xy,dx + (y^2 - 3x^2),dy = 0. Esse tipo de equação envolve verificar se ela é exata e, caso não seja, usar um fator integrante.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=2xy e N(x,y)=y^2-3x^2. Calculamos partial M/partial y=2x e partial N/partial x=-6x. Como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de y. Usamos a expressão (partial N/partial x - partial M/partial y)/M =(-6x-2x)/(2xy)=-4/y, que de fato depende apenas de y. Logo
mu(y)=expl(integral -4/y,dyr)=y^-4.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y)=y^-4 e obtemos:
M^*(x,y)=2xycdot y^-4=2x y^-3 e N^*(x,y)=(y^2-3x^2),y^-4=y^-2-3x^2y^-4.
Agora partial M^*/partial y=-6x y^-4 e partial N^*/partial x=-6x y^-4, logo a nova equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que partialpsi/partial x = M^* = 2x y^-3. Integrando em x:
psi(x,y)=integral 2x y^-3,dx = x^2 y^-3 + h(y).
Para achar h(y), derivamos em y e igualamos a N^*:
partialpsi/partial y = -3x^2y^-4 + h'(y) = y^-2 - 3x^2y^-4 ,
daí h'(y)=y^-2 e h(y)=-y^-1. Assim
psi(x,y)=x^2y^-3-y^-1.

Passo 6

A solução geral implícita é psi(x,y)=C, o que pode ser reescrito como (x^2 - y^2)/y^3 = C.

Resposta

x^2 - y^2y^3 = C

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