Resolva as equaçÔes abaixo. Use um fator integrante para equaçÔes exatas, se preciso.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação envolve verificar se ela é exata e, caso não seja, usar um fator integrante.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculamos
e
. Como não são iguais, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Usamos a expressão
, que de fato depende apenas de
. Logo
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
e obtemos:
e
.
Agora e
, logo a nova equação é exata.
Agora
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
. Integrando em
:
.
Para achar , derivamos em
e igualamos a
:
,
daí e
. Assim
.
Para achar
daí
Passo 6
A solução geral implícita é
, o que pode ser reescrito como
.