Resolva a equação.

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial dydx=xy^2raiz1+x. O conteúdo aqui é equações diferenciais separáveis: a ideia é separar as variáveis y e x para cada lado e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis agrupando os y de um lado e os x do outro. Ou seja, multiplica ambos os lados por y^2,dx:
y^2,dy=xraiz1+x,dx

Passo 3

Agora é só integrar cada lado:
integral y^2,dy=integral xraiz1+x,dx
Do lado esquerdo usamos a integral de potência e, do direito, quebramos x= (1+x)-1 para facilitar.

Passo 4

Calcule as integrais:
Lado esquerdo:
integral y^2,dy=y^33
Lado direito: escreva x= (1+x)-1 e divida:
integral xraiz1+x,dx=integral (1+x)-1raiz1+x,dx=integral raiz1+x,dx-integral 1raiz1+x,dx
Cada uma dá
integral raiz1+x,dx=23(1+x)^3/2, integral 1raiz1+x,dx=2(1+x)^1/2
Logo o lado direito fica
23(1+x)^3/2-2(1+x)^1/2+C

Passo 5

Multiplique tudo por 3 para simplificar e junte as constantes:
y^3=2(1+x)^3/2-6(1+x)^1/2+C1
Isso é a solução geral em forma implícita. Se quiser explicitar, basta tomar a raiz cúbica.

Passo 6

Se precisar da forma explícita, escrevemos:
y=l(2(1+x)^3/2-6(1+x)^1/2+C1r)^1/3

Resposta

A solução geral é
y^3=2(1+x)^3/2-6(1+x)^1/2+C
ou, de forma explícita,
y=l(2(1+x)^3/2-6(1+x)^1/2+Cr)^1/3

Exercícios relacionados