Resolva a equação.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem x,dydx=1y^3. O conteúdo aqui é equação diferencial separável, e vamos precisar usar a técnica de separar variáveis para integrar.

Passo 2

Segundo a teoria de equações separáveis, a gente reorganiza os termos pra isolar todas as ocorrências de y com dy de um lado e as de x com dx do outro. Começamos dividindo ambos os lados por x e multiplicando por y^3. Após reorganizar, obtemos
y^3,dy = 1x,dx
Agora as variáveis estão separadas: tudo que é função de y com dy à esquerda e tudo que é função de x com dx à direita.

Passo 3

O próximo passo é integrar ambos os lados. Pela regra de potência e pela integral do 1/x, temos:
integral y^3,dy = integral 1x,dx
Isso resulta em
y^44 = lnlvert xrvert + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Por fim, isolamos y. Multiplicamos por 4 e extraímos a raiz quarta, chegando à solução geral:
y^4 = 4lnlvert xrvert + C'
ou, equivalentemente,
y = l(4lnlvert xrvert + C'r)^1/4
em esse C' absorve o fator 4 da constante original.

Resposta

A solução geral é y^4 = 4lnlvert xrvert + C, ou ainda y = l(4lnlvert xrvert + Cr)^1/4, com C constante de integração.

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