Resolva a equação.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y^-1,dy + y,e^cos x,sin x,dx = 0. Trata-se de uma equação de variáveis separáveis, então vamos separar as variáveis y e x e integrar cada lado.

Passo 2

Começamos reescrevendo como derivada explícita. Dividindo toda a equação por dx e isolando dy/dx, obtemos
dydx = -y^2,e^cos x,sin x

Passo 3

Agora separamos as variáveis, colocando os termos em y de um lado e em x do outro:
dyy^2 = -e^cos x,sin x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. À esquerda,
integral y^-2,dy = -1y
À direita, fazemos a substituição u = cos x, logo du = -sin x,dx, e
integral -e^cos x,sin x,dx = integral e^u,du = e^u + C = e^cos x + C

Passo 5

Igualamos as primitivas:
-1y = e^cos x + C
Multiplicando por -1 e definindo K = -C, obtemos
1y = K - e^cos x,
e, finalmente,
y = 1K - e^cos x

Resposta

y = 1C - e^cos x

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