Resolva a equação:
(1+\operatorname{sen}{2}(x)+\operatorname{sen}{4}(x)+\operatorname{sen}^{6}(x)+\cdots=2 \operatorname{tg}(x)).
(1+\operatorname{sen}{2}(x)+\operatorname{sen}{4}(x)+\operatorname{sen}^{6}(x)+\cdots=2 \operatorname{tg}(x)).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Aqui vamos usar soma de série geométrica infinita e identidades trigonométricas básicas (
e
).
Passo 2
O lado esquerdo é uma série geométrica de termo inicial
e razão
. Para
(convergência),
Passo 3
Como
, temos
. Portanto,
A equação original vira
Passo 4
Usando
, obtemos
logo
Passo 5
A solução geral de
é
Note que para esses
temos
(então
está bem definida) e
(assegurando a convergência da série).