Resolva a equação:
(1+\operatorname{sen}{2}(x)+\operatorname{sen}{4}(x)+\operatorname{sen}^{6}(x)+\cdots=2 \operatorname{tg}(x)).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
1 + sin^2(x) + sin^4(x) + sin^6(x) + cdots = 2,tan(x)
Aqui vamos usar soma de série geométrica infinita e identidades trigonométricas básicas ( sin^2x+cos^2x=1 e sec^2x=1+tan^2x).

Passo 2

O lado esquerdo é uma série geométrica de termo inicial 1 e razão sin^2(x). Para lvertsin^2(x)rvert<1 (convergência),
1 + sin^2(x) + sin^4(x) + cdots = 11-sin^2(x)

Passo 3

Como sin^2(x)+cos^2(x)=1, temos 1-sin^2(x)=cos^2(x). Portanto,
11-sin^2(x) = 1cos^2(x) = sec^2(x)
A equação original vira
sec^2(x) = 2,tan(x)

Passo 4

Usando sec^2(x)=1+tan^2(x), obtemos
1 + tan^2(x) = 2,tan(x) Longrightarrow tan^2(x) - 2,tan(x) + 1 = 0 Longrightarrow (tan(x)-1)^2 = 0,
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tan(x) = 1

Passo 5

A solução geral de tan(x)=1 é
x = pi4 + kpi, kinZ
Note que para esses x temos cos(x)neq0 (então tan está bem definida) e sin^2(x)=tfrac12<1 (assegurando a convergência da série).

Resposta

x = pi4 + kpi, kinZ

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