Resolva a equação:
(\left[2{x}\right]\left[\sqrt{2{x}}\right]\left[\sqrt[4]{2{x}}\right]\left[\sqrt[8]{2{x}}\right]\left[\sqrt[16]{2^{x}}\right]+\cdots=1 / 4).
(\left[2{x}\right]\left[\sqrt{2{x}}\right]\left[\sqrt[4]{2{x}}\right]\left[\sqrt[8]{2{x}}\right]\left[\sqrt[16]{2^{x}}\right]+\cdots=1 / 4).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação dada pelo produto infinito dos termos
igual a
. O conteúdo principal aqui é manipular potências de base
e usar a soma de uma série geométrica para simplificar o produto infinito.
Passo 2
Escrevemos cada fator como potência de
:
O produto infinito é
Como
, o produto vira
Passo 3
A equação fica
Mas
, logo devemos ter
Passo 4
Isolando
obtemos