Resolva a equação:
(\left[2{x}\right]\left[\sqrt{2{x}}\right]\left[\sqrt[4]{2{x}}\right]\left[\sqrt[8]{2{x}}\right]\left[\sqrt[16]{2^{x}}\right]+\cdots=1 / 4).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação dada pelo produto infinito dos termos
2^x, raiz2^x, raiz[4]2^x, raiz[8]2^x,dots
igual a 1/4. O conteúdo principal aqui é manipular potências de base 2 e usar a soma de uma série geométrica para simplificar o produto infinito.

Passo 2

Escrevemos cada fator como potência de 2:
2^x, 2^x/2, 2^x/4, 2^x/8,dots
O produto infinito é
prodk=0^infty2^,x/2^k =;2^sumk=0^inftyx/2^k =2^,xsumk=0^infty(1/2)^k
Como sumk=0^infty(1/2)^k=1/(1-tfrac12)=2, o produto vira
2^,2x

Passo 3

A equação fica
2^2x= tfrac14
Mas tfrac14=2^-2, logo devemos ter
2x=-2

Passo 4

Isolando x obtemos
x=-1

Resposta

x=-1

Exercícios relacionados