Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Essa matéria faz parte de Equações Diferenciais, especificamente de equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre substituições que simplificam a equação e como aplicar condições iniciais para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo dessa equação. Temos uma derivada de $ y $ em relação a $ x $ que é uma função de $ y $ e $ x $. A equação não é linear, mas dá pra simplificar usando uma substituição. Uma boa estratégia aqui é definir uma nova variável que facilite a resolução.
Vamos definir:
Isso significa que $ y = v + x $. Agora, vamos derivar essa expressão em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original com $ v $ e $ v’ $:
Simplificando isso:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 4
Agora, temos uma equação mais simples:
Isso é uma forma de equação separável, onde conseguimos separar as variáveis $ v $ e $ x $ para integrar. Vamos reescrever a equação:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 5
Calculando as integrais:
onde $ C $ é a constante de integração. Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear $ 2C $ como apenas $ C $ (já que $ C $ é uma constante arbitrária):
Passo 6
Lembrando que $ v = y - x $, substituímos de volta:
Para achar a solução particular, usamos a condição inicial $ y(0) = 2 $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 2 $ na equação:
Passo 7
Agora que sabemos que $ C = 4 $, substituímos de volta na equação original:
Resolvendo para $ y $:
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada com a condição inicial $ y(0) = 2 $ é: