Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
2 y^2 y^prime=3 y-y^prime, x=3, y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo 2 y^2 y^prime = 3 y - y^prime com a condição inicial x=3, y=1. O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais, e vamos precisar entender como identificar o tipo dessa equação e usar técnicas de separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar os termos com y' (que é dy/dx) de um lado. A equação original é:
2 y^2 y^prime = 3 y - y^prime
Vamos mover o y' para o lado esquerdo:
2 y^2 y^prime + y^prime = 3 y
Agora, fatoramos o y':
y' (2 y^2 + 1) = 3 y
Assim, isolamos y':
y' = 3 y2 y^2 + 1

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial que está na forma y' = 3 y2 y^2 + 1. Isso é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis y e x para integrar os dois lados.
Vamos rearranjar a equação:
2 y^2 + 13 y dy = dx

Passo 4

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação para facilitar a integração:
2 y^2 + 13 y = 2 y^23 y + 13 y = 2 y3 + 13 y
Então, a equação fica:
(2 y3 + 13 y) dy = dx

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo:
integral (2 y3 + 13 y) dy = 23 integral y , dy + 13 integral 1y , dy
Calculando as integrais:
23 cdot y^22 + 13 ln |y| + C = y^23 + 13 ln y + C
Do lado direito, a integral de dx é simplesmente x + C'.
Então, temos:
y^23 + 13 ln y = x + C

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial x=3, y=1 para encontrar o valor de C.
Substituindo na equação:
1^23 + 13 ln 1 = 3 + C
Sabemos que ln 1 = 0, então:
13 = 3 + C
Isolando C:
C = 13 - 3 = -83

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:
y^23 + 13 ln y = x - 83

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