Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais, e vamos precisar entender como identificar o tipo dessa equação e usar técnicas de separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar os termos com
(que é
) de um lado. A equação original é:
Vamos mover o
para o lado esquerdo:
Agora, fatoramos o
:
Assim, isolamos
:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial que está na forma
. Isso é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para integrar os dois lados.
Vamos rearranjar a equação:
Passo 4
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação para facilitar a integração:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo:
Calculando as integrais:
Do lado direito, a integral de
é simplesmente
.
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo na equação:
Sabemos que
, então:
Isolando
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: