Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 1 kg de sal. No instante
, outra solução de salmoura com um
de sal por litro começa a entrar no tanque à razão de
, enquanto a mistura bem homogeinizada sai do tanque à mesma taxa. (a) Determine a quantidade de sal no tanque no instante
; (b) determine o instante em que a mistura no tanque contém 2 kg de sal. Sugestão: Se
denota a quantidade de sal (em kg ) presente no instante
, então a taxa de variação de
, i.e.,
, é igual à taxa à qual o sal entra no tanque menos a taxa à qual o sal sai do tanque.
Passo 1
Vamos revisar o que o enunciado pede: temos um tanque com volume constante de 350 L de salmoura e concentração inicial de 1 kg de sal. A partir de t=0 entra solução com 0,1 kg/L à razão de 10 L/min e sai mistura homogenizada à mesma vazão. O conteúdo é um problema de mistura, que leva a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal Q(t).
Passo 2
Precisamos montar a equação de balanço de massa de sal: a taxa de entrada de sal é a concentração de entrada vezes a vazão, isto é, 0,1 kg/L×10 L/min=1 kg/min. A concentração dentro do tanque é Q(t)/350 kg/L, então a taxa de saída de sal é (Q/350)×10=Q/35 kg/min. Assim a equação diferencial é
Passo 3
Esse é um ODE linear de primeira ordem no formato
. Vamos usar fator integrante
. Multiplicando a equação por
obtemos
logo a solução geral é
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
:
Então a solução particular é
Isso resolve o item (a).
Passo 5
Para o item (b), impondo
damos
Resposta
Q(t)=35 - 34e^{-t/35} (kg); o instante em que Q=2 kg é t=35\ln(34/33) (min).