Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 1 kg de sal. No instante t=0, outra solução de salmoura com um 0,1 kg de sal por litro começa a entrar no tanque à razão de 10 l / min, enquanto a mistura bem homogeinizada sai do tanque à mesma taxa. (a) Determine a quantidade de sal no tanque no instante t; (b) determine o instante em que a mistura no tanque contém 2 kg de sal. Sugestão: Se Q=Q(t) denota a quantidade de sal (em kg ) presente no instante t, então a taxa de variação de Q, i.e., d Q / d t, é igual à taxa à qual o sal entra no tanque menos a taxa à qual o sal sai do tanque.

Passo 1

Vamos revisar o que o enunciado pede: temos um tanque com volume constante de 350 L de salmoura e concentração inicial de 1 kg de sal. A partir de t=0 entra solução com 0,1 kg/L à razão de 10 L/min e sai mistura homogenizada à mesma vazão. O conteúdo é um problema de mistura, que leva a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal Q(t).

Passo 2

Precisamos montar a equação de balanço de massa de sal: a taxa de entrada de sal é a concentração de entrada vezes a vazão, isto é, 0,1 kg/L×10 L/min=1 kg/min. A concentração dentro do tanque é Q(t)/350 kg/L, então a taxa de saída de sal é (Q/350)×10=Q/35 kg/min. Assim a equação diferencial é
dQdt=entrada - saída=1-Q35 í

Passo 3

Esse é um ODE linear de primeira ordem no formato Q'+tfrac135Q=1. Vamos usar fator integrante mu(t)=e^integral(1/35)dt=e^t/35. Multiplicando a equação por e^t/35 obtemos
ddtl(Qe^t/35r)=e^t/35 Integrando em ambos os lados,
Qe^t/35=integral e^t/35dt=35e^t/35+C,
logo a solução geral é
Q(t)=35+Ce^-t/35

Passo 4

Aplicamos a condição inicial Q(0)=1:
1=35+Cimplies C=-34
Então a solução particular é
Q(t)=35-34e^-t/35
Isso resolve o item (a).

Passo 5

Para o item (b), impondo Q(t)=2 damos
35-34e^-t/35=2implies e^-t/35=3334implies -t35=ln3334implies t=35ln3433 Essa é a resposta para o instante em que há 2 kg de sal no tanque.

Resposta

Q(t)=35 - 34e^{-t/35} (kg); o instante em que Q=2 kg é t=35\ln(34/33) (min).

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