Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que relacionam funções e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra e trigonometria. Vamos passo a passo entender e resolver essa equação!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos dividir ambos os lados por
(assumindo que
):
Isso nos deixa com uma relação mais simples entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para facilitar. Observe que temos
, que se assemelha à identidade trigonométrica
. Então, vamos definir:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar
em relação a
para encontrar
:
Isso nos dá a derivada de
em termos de
e
.
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 6
Agora, vamos cancelar os termos semelhantes:
Podemos dividir ambos os lados por
(assumindo que
e
):
Passo 7
Integrando ambos os lados:
O que dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que fizemos a substituição
, podemos resolver para
:
Substituindo de volta na equação integrada:
Passo 9
Para deixar a solução mais elegante, podemos escrever a constante como
e reescrever a equação:
Tomando o seno dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos simplificar a constante
para apenas
, já que
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante de integração.