Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(y+raizx^2-y^2) d x=x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
(y + raizx^2 - y^2) dx = x dy
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que relacionam funções e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra e trigonometria. Vamos passo a passo entender e resolver essa equação!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos dividir ambos os lados por x (assumindo que x neq 0):
y + raizx^2 - y^2x dx = dy
Isso nos deixa com uma relação mais simples entre dx e dy.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para facilitar. Observe que temos raizx^2 - y^2, que se assemelha à identidade trigonométrica sin^2 theta + cos^2 theta = 1. Então, vamos definir:
y = x sin theta
Isso significa que:
raizx^2 - y^2 = x cos theta

Passo 4

Agora, vamos diferenciar y = x sin theta em relação a x para encontrar dy:
dy = sin theta dx + x cos theta dtheta
Isso nos dá a derivada de y em termos de theta e x.

Passo 5

Substituindo y e dy na equação original:
(x sin theta + x cos theta) dx = x (sin theta dx + x cos theta dtheta)
Vamos simplificar essa expressão:
x(sin theta + cos theta) dx = x sin theta dx + x^2 cos theta dtheta

Passo 6

Agora, vamos cancelar os termos semelhantes:
x cos theta dx = x^2 cos theta dtheta
Podemos dividir ambos os lados por x cos theta (assumindo que cos theta neq 0 e x neq 0):
dxx = dtheta

Passo 7

Integrando ambos os lados:
integral dxx = integral dtheta
O que dá:
ln |x| = theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que fizemos a substituição y = x sin theta, podemos resolver para theta:
theta = arcsin(yx)
Substituindo de volta na equação integrada:
ln |x| = arcsin(yx) + C

Passo 9

Para deixar a solução mais elegante, podemos escrever a constante como -C e reescrever a equação:
ln |x| - C = arcsin(yx)
Tomando o seno dos dois lados:
yx = sin(ln |x| - C)
Multiplicando ambos os lados por x:
y = x sin(ln |x| - C)
Podemos simplificar a constante -C para apenas C, já que C é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação é:
y = x cdot sin(ln|x| + C)
Onde C é uma constante de integração.

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