Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(x+3 y) d x+(3 x-2 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
(x + 3y) , dx + (3x - 2y) , dy = 0
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. A gente precisa identificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral. Se tiver alguma condição inicial, a gente também pode achar a solução particular. Mas, por enquanto, vamos focar em resolver essa equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas para a nossa equação.

Passo 3

Identificando $ M $ e $ N $:
M
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
N

Passo 4

Como:
partial Mpartial y = partial Npartial x = 3
Isso significa que a equação é exata. Então, podemos proceder para encontrar a função potencial $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)

Passo 5

Vamos começar integrando $ M $ em relação a $ x $:
M
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $, já que ao integrar em relação a $ x $, a constante de integração pode envolver $ y $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ h(y) $ diferenciando $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualando a $ N $:
h(y)
Resolvendo para $ h’(y) $:
F(x, y)

Passo 7

Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
h'(y)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituindo $ h(y) $ de volta na expressão de $ F(x, y) $:
h(y)
A solução geral da equação diferencial é obtida igualando $ F(x, y) $ a uma constante:
F(x, y)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
12x^2 + 3xy - y^2 = C

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