Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. A gente precisa identificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral. Se tiver alguma condição inicial, a gente também pode achar a solução particular. Mas, por enquanto, vamos focar em resolver essa equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas para a nossa equação.
Passo 3
Identificando $ M $ e $ N $:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Como:
Isso significa que a equação é exata. Então, podemos proceder para encontrar a função potencial $ F(x, y) $ tal que:
Passo 5
Vamos começar integrando $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $, já que ao integrar em relação a $ x $, a constante de integração pode envolver $ y $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ h(y) $ diferenciando $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualando a $ N $:
Resolvendo para $ h’(y) $:
Passo 7
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituindo $ h(y) $ de volta na expressão de $ F(x, y) $:
A solução geral da equação diferencial é obtida igualando $ F(x, y) $ a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: