Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, mais especificamente em equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é
. Para isso, vamos dividir todos os termos por
:
Agora, temos a equação na forma padrão, onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
No nosso caso,
, então vamos calcular a integral:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação pela fator integrante
:
Simplificando isso, temos:
Passo 5
A beleza desse método é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica bastante a resolução, porque agora podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. No lado direito, vamos calcular cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, para encontrar
, basta dividir todos os termos por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é uma constante arbitrária.