Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
x^2 y^prime+x y=2+x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial x^2 y' + x y = 2 + x^2. Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, mais especificamente em equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é y' + P(x) y = Q(x). Para isso, vamos dividir todos os termos por x^2:
y' + 1x y = 2x^2 + 1
Agora, temos a equação na forma padrão, onde P(x) = 1x e Q(x) = 2x^2 + 1.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
No nosso caso, P(x) = 1x, então vamos calcular a integral:
integral 1x dx = ln|x|
Portanto, o fator integrante é:
mu(x) = e^ln|x| = x

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação pela fator integrante x:
x cdot y' + xx y = x ( 2x^2 + 1 )
Simplificando isso, temos:
x y' + y = 2x + x

Passo 5

A beleza desse método é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto x y. Ou seja:
ddx (x y) = 2x + x
Isso simplifica bastante a resolução, porque agora podemos integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral ddx (x y) dx = integral ( 2x + x ) dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente x y. No lado direito, vamos calcular cada termo separadamente:
integral 2x dx = 2 ln|x|
integral x dx = x^22
Então, juntando tudo:
x y = 2 ln|x| + x^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, para encontrar y, basta dividir todos os termos por x:
y = 2 ln|x|x + x2 + Cx
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação é
y = 2 ln|x|x + x2 + Cx
onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados