Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolvermos a equação diferencial
. Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos verificar se ela é exata, ou seja, se ela pode ser integrada diretamente. Isso nos ajudará a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Ela está na forma
, onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e ver se elas são iguais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.
Passo 4
Um fator integrante é uma função, geralmente dependente de
ou
, que multiplicada pela equação original, a torna exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de
.
Assumimos que o fator integrante é
, então multiplicamos a equação original por
:
Para que a equação seja exata, deve-se ter:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando as duas derivadas:
Simplificando:
Pode-se observar que encontrar
dessa forma é complexo, então provavelmente o fator integrante depende de
. Vamos tentar
.
Passo 6
Assumindo que o fator integrante é
, multiplicamos a equação original por
:
Para que seja exata, deve-se ter:
Calculando cada derivada.
Passo 7
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando as duas derivadas:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora temos uma equação diferencial para
:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Podemos escolher
para simplificar, então
.
Passo 9
Agora, multiplicamos a equação original por
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata, então podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Passo 10
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Integrando:
Passo 11
Substituindo
na expressão de
:
A solução geral da equação é
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.