Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
3 x^2 y^2 d x+4(x^3 y-3) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolvermos a equação diferencial 3 x^2 y^2 , dx + 4(x^3 y - 3) , dy = 0. Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos verificar se ela é exata, ou seja, se ela pode ser integrada diretamente. Isso nos ajudará a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Ela está na forma M(x,y) , dx + N(x,y) , dy = 0, onde:
  • M(x,y) = 3x^2y^2
  • N(x,y) = 4(x^3y - 3)
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x, e ver se elas são iguais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial y(3x^2y^2) = 6x^2y
Agora, calculando a derivada parcial de N em relação a x:
partial Npartial x = partialpartial x[4(x^3y - 3)] = 12x^2y
Como 6x^2y neq 12x^2y, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 4

Um fator integrante é uma função, geralmente dependente de x ou y, que multiplicada pela equação original, a torna exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de x.
Assumimos que o fator integrante é mu(x), então multiplicamos a equação original por mu(x):
mu(x) cdot 3x^2y^2 , dx + mu(x) cdot 4(x^3y - 3) , dy = 0
Para que a equação seja exata, deve-se ter:
ddy[mu(x) cdot 3x^2y^2] = ddx[mu(x) cdot 4(x^3y - 3)]
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a y:
ddy[mu(x) cdot 3x^2y^2] = mu(x) cdot 6x^2y
Calculando a derivada parcial em relação a x:
ddx[mu(x) cdot 4(x^3y - 3)] = 4mu'(x)(x^3y - 3) + 12mu(x)x^2y
Igualando as duas derivadas:
mu(x) cdot 6x^2y = 4mu'(x)(x^3y - 3) + 12mu(x)x^2y
Simplificando:
6x^2y = 4mu'(x)(x^3y - 3)/mu(x) + 12x^2y
Pode-se observar que encontrar mu(x) dessa forma é complexo, então provavelmente o fator integrante depende de y. Vamos tentar mu(y).

Passo 6

Assumindo que o fator integrante é mu(y), multiplicamos a equação original por mu(y):
mu(y) cdot 3x^2y^2 , dx + mu(y) cdot 4(x^3y - 3) , dy = 0
Para que seja exata, deve-se ter:
ddy[mu(y) cdot 3x^2y^2] = ddx[mu(y) cdot 4(x^3y - 3)]
Calculando cada derivada.

Passo 7

Calculando a derivada parcial em relação a y:
ddy[mu(y) cdot 3x^2y^2] = 3x^2 cdot 2y cdot mu(y) + 3x^2y^2 cdot mu'(y) = 6x^2y cdot mu(y) + 3x^2y^2 cdot mu'(y)
Calculando a derivada parcial em relação a x:
ddx[mu(y) cdot 4(x^3y - 3)] = mu(y) cdot 12x^2y
Igualando as duas derivadas:
6x^2y cdot mu(y) + 3x^2y^2 cdot mu'(y) = 12x^2y cdot mu(y)
Simplificando:
3x^2y^2 cdot mu'(y) = 6x^2y cdot mu(y)
Dividindo ambos os lados por 3x^2y:
y cdot mu'(y) = 2 cdot mu(y)

Passo 8

Agora temos uma equação diferencial para mu(y):
mu'(y)mu(y) = 2y
Integrando ambos os lados:
integral mu'(y)mu(y) , dy = integral 2y , dy Rightarrow ln|mu(y)| = 2ln|y| + C
Exponentiando:
mu(y) = C y^2
Podemos escolher C = 1 para simplificar, então mu(y) = y^2.

Passo 9

Agora, multiplicamos a equação original por mu(y) = y^2:
y^2 cdot 3x^2y^2 , dx + y^2 cdot 4(x^3y - 3) , dy = 0
Simplificando:
3x^2y^4 , dx + 4x^3y^3 - 12 y^2 , dy = 0
Agora, a equação é exata, então podemos encontrar uma função potencial F(x,y) tal que:
partial Fpartial x = 3x^2y^4 e partial Fpartial y = 4x^3y^3 - 12 y^2

Passo 10

Integrando partial Fpartial x = 3x^2y^4 em relação a x:
F(x,y) = integral 3x^2y^4 , dx = x^3y^4 + h(y)
onde h(y) é uma função que depende apenas de y.
Agora, derivamos F(x,y) em relação a y e igualamos a partial Fpartial y:
partial Fpartial y = 4x^3y^3 + h'(y) = 4x^3y^3 - 12 y^2
Isso implica que:
h'(y) = -12 y^2
Integrando:
h(y) = -4 y^3 + C

Passo 11

Substituindo h(y) na expressão de F(x,y):
F(x,y) = x^3y^4 - 4 y^3 + C
A solução geral da equação é F(x,y) = constante, então:
x^3y^4 - 4 y^3 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é x^3y^4 - 4 y^3 = C, onde C é uma constante real.

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