Se sen x=1213 e pi2, calcule cos 3 x.

Passo 1

A questão dá sin x=tfrac1213 e informa que tfracpi2, ou seja, estamos no segundo quadrante onde o seno é positivo e o cosseno é negativo. O objetivo é achar cos 3x usando identidades trigonométricas de ângulo múltiplo.

Passo 2

Para aplicar a identidade de ângulo múltiplo, primeiro encontramos cos x pela identidade pitagórica. Sabemos que
sin^2 x+cos^2 x=1,
então substituindo sin x=tfrac1213 temos
cos^2 x=1-l(tfrac1213r)^2=1-tfrac144169=tfrac25169

Passo 3

Como x está no segundo quadrante, cos x<0, logo
cos x=-raiztfrac25169=-tfrac513

Passo 4

Agora usamos a identidade do cosseno de triplo ângulo:
cos 3x=4cos^3 x-3cos x

Passo 5

Substituindo cos x=-tfrac513 na fórmula:
cos 3x=4l(-tfrac513r)^3-3l(-tfrac513r)=4l(-tfrac1252197r)+tfrac1513

Passo 6

Passamos tfrac1513 para denominador comum 2197=13^3:
tfrac1513=tfrac15cdot1692197=tfrac25352197,
portanto
cos 3x=-tfrac5002197+tfrac25352197=tfrac20352197

Resposta

cos 3x=tfrac20352197.

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