Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Resumo: a equação diferencial é
É uma EDO de variáveis separáveis e precisamos encontrar a solução geral e, se houver condição inicial, a solução particular.
Passo 2
Identificação e separação: escrevendo
, temos
Logo separamos as variáveis:
Passo 3
Integração: à esquerda usamos que
e à direita
$$\int\frac{dx}{\sin x}=\int\csc x,dx=\ln\bigl|\tan(x/2)\bigr|+C.
Passo 4
Resolvendo para
: exponenciando, obtemos
onde podemos englobar o sinal em
$$\ln y=K\tan(x/2)\quad\Rightarrow\quad y(x)=\exp\bigl(K\tan(x/2)\bigr).
$$
Passo 5
Solução particular: se houvesse condição inicial do tipo
y(pi/2)=y0 , como
tan(pi/4)=1 , teríamos
K=ln y0 e então
Resposta
Solução geral:
y(x)=expl(C,tan(x/2)r) . Com condição inicial
y(pi/2)=y0 , a solução particular é
y(x)=y0^tan(x/2) .