Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
y^prime sen x=y ln y, x=pi2

Passo 1

Resumo: a equação diferencial é
y',sin x = yln y
É uma EDO de variáveis separáveis e precisamos encontrar a solução geral e, se houver condição inicial, a solução particular.

Passo 2

Identificação e separação: escrevendo y'=dydx, temos
dydx=yln ysin x
Logo separamos as variáveis:
1yln y,dy=1sin x,dx.

Passo 3

Integração: à esquerda usamos que
ddy[ln(ln y)]=1yln y,
e à direita
$$\int\frac{dx}{\sin x}=\int\csc x,dx=\ln\bigl|\tan(x/2)\bigr|+C.
integraldxsin x=integralcsc x,dx=lnl|tan(x/2)r|+C \ln|\ln y|=\ln\bigl|\tan(x/2)\bigr|+C.$$

Passo 4

Resolvendo para y: exponenciando, obtemos
|ln y|=e^Cl|tan(x/2)r|=Ktan(x/2),
onde podemos englobar o sinal em K. Assim
$$\ln y=K\tan(x/2)\quad\Rightarrow\quad y(x)=\exp\bigl(K\tan(x/2)\bigr).
$$

Passo 5

Solução particular: se houvesse condição inicial do tipo y(pi/2)=y0, como tan(pi/4)=1, teríamos K=ln y0 e então
y(x)=expl(ln y0,tan(x/2)r)=y0^tan(x/2)

Resposta

Solução geral: y(x)=expl(C,tan(x/2)r). Com condição inicial y(pi/2)=y0, a solução particular é y(x)=y0^tan(x/2).

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