1. sumk=1^+infty 42+3^k k

Passo 1

O exercício pede pra estudar a série infinita sumk=1^infty42+3^k k. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos precisar usar teste de convergência (por exemplo, teste da razão) e depois estimar uma soma parcial, pois não há forma fechada simples.

Passo 2

Como todos os termos são positivos, aplicamos o teste da razão. Seja ak=42+3^k k. Então
limktoinftyak+1ak=limktoinfty4/(2+3^k+1(k+1))4/(2+3^k k)=limktoinfty2+3^k k2+3^k+1(k+1)

Passo 3

Para k grande, o termo dominante é 3^k k, então
2+3^k k2+3^k+1(k+1)sim3^k k3cdot3^k(k+1)=k3(k+1)to13<1

Passo 4

Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente. Não existe soma fechada simples, então vamos aproximar por soma parcial.

Passo 5

Calculamos as somas parciais SN=sumk=1^N42+3^k k para valores crescentes de N. Por exemplo:
S1=0,8
S2=1,0
S3approx1,04819
S5approx1,06375
S10approx1,06503.
Observe que a soma vai se estabilizando perto de 1,06503.

Resposta

A série converge e seu valor aproximado é 1,06503.

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