Resolva a equação abaixo, por um dos métodos que você aprendeu:
y^prime-3 yx=x^2

Passo 1

Resumo da questão: resolver a equação diferencial de primeira ordem linear y' - 3xy = x^2, usando o método do fator integrante. Precisamos lembrar da forma padrão de uma ED linear e de como calcular o fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão de ED1 linear y' + P(x),y = Q(x), identificando P(x) = -3x, Q(x) = x^2 Esse reconhecimento é essencial para aplicar o método do fator integrante.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como mu(x)=e^integral P(x),dx. Aqui fica: mu(x)=e^integral -3xdx=e^-3ln|x|=|x|^-3 Como geralmente assumimos x>0, adotamos mu(x)=x^-3

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x) para transformar o lado esquerdo na derivada de mu(x)y. Assim obtemos: x^-3y' - 3x^-4y = x^-1 Repare que ddxl(x^-3yr)=x^-3y' + (-3x^-4)y, igual ao lado esquerdo.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x: integral ddx(x^-3y),dx = integral x^-1,dx Longrightarrow x^-3y = ln|x| + C, obtendo a solução implícita para mu(x)y.

Resposta

y(x)=x^{3}\bigl(\ln|x|+C\bigr)

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