Se y1 e y2 são duas soluções linearmente independentes de
x^4 y^prime prime-5 x^2 y^prime+(3-x) y=0
e se W(y1, y2)(1)=3, então qual o valor de W(y1, y2)(4)?

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de segunda ordem na forma x^4y''-5x^2y'+(3-x)y=0, nos diz que y1 e y2 são duas soluções linearmente independentes e que W(y1,y2)(1)=3. Queremos encontrar W(y1,y2)(4). O conteúdo principal aqui é o cálculo do wronskiano usando o Teorema de Abel.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Dividindo por x^4 temos:
y''-5x^2x^4y'+3-xx^4y=0
Logo P(x)=-5x^2.

Passo 3

Pelo Teorema de Abel, o wronskiano satisfaz
W(x)=W(1)expl(-integral1^xP(t),dtr)
Substituindo P(t)=-5/t^2 e W(1)=3 obtemos
W(4)=3expl(-integral1^4l(-tfrac5t^2r)dtr)=3expl(integral1^4tfrac5t^2dtr)

Passo 4

Basta calcular a integral:
integral1^45t^2dt=5l[-1tr]1^4=5l(-tfrac14+1r)=154
Portanto
W(4)=3,e^15/4

Resposta

W(y_{1},y_{2})(4)=3e^{15/4}

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