Seja a função
Verifique se f é contínua em
.
Verifique se f é contínua em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua em (0,0). O conteúdo envolve continuidade de funções de duas variáveis, cálculo de limite em (0,0) e uso de coordenadas polares e Teorema do Confronto.
Passo 2
Uma função f:ℝ^2→ℝ é contínua em (0,0) se
Aqui sabemos que
, então precisamos mostrar que o limite de
quando
é zero.
Passo 3
Para calcular o limite
usamos coordenadas polares: definimos
$$
x=r\cos\theta,
x=r\cos\theta,
y=r\sin\theta,
$$
com e substituímos na expressão de f.
com
Passo 4
Em polares temos
Então
Como
implica
, pelo Teorema do Confronto segue que
e, portanto,
Passo 5
O limite de
ao chegar em (0,0) é 0, que coincide com
. Logo, pela definição, f é contínua em (0,0).
Resposta
A função é contínua em (0,0).