Seja a função f(x, y)= y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Verifique se f é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
é contínua em (0,0). O conteúdo envolve continuidade de funções de duas variáveis, cálculo de limite em (0,0) e uso de coordenadas polares e Teorema do Confronto.

Passo 2

Uma função f:ℝ^2→ℝ é contínua em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)
Aqui sabemos que f(0,0)=0, então precisamos mostrar que o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) é zero.

Passo 3

Para calcular o limite
lim(x,y)to(0,0)y^3x^2+y^2
usamos coordenadas polares: definimos
$$
x=r\cos\theta,
y=r\sin\theta,
$$
com x=rcostheta, y=rsintheta, e substituímos na expressão de f.

Passo 4

Em polares temos
f(r,theta)=(rsintheta)^3r^2=rsin^3theta
Então
|f(r,theta)|=|rsin^3theta|=r,|sin^3theta|<= r
Como rto0 implica rto0, pelo Teorema do Confronto segue que
limrto0rsin^3theta=0
e, portanto,

Passo 5

O limite de f(x,y) ao chegar em (0,0) é 0, que coincide com f(0,0). Logo, pela definição, f é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0).

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