Resolva a equação de Bernoulli:
d yd x+yx=a cdot ln x cdot y^2.

Passo 1

A gente tem aí uma equação de Bernoulli: dydx+yx=aln x,y^2. O conteúdo é equação diferencial de Bernoulli, e vamos usar a troca padrão u=y^1-n pra transformar em equação linear. Aqui P(x)=1/x, Q(x)=aln x e o expoente n=2.

Passo 2

Primeiro escrevo na forma padrão y'+P(x)y=Q(x)y^n e divido tudo por y^2, já que n=2:
y'y^2+1xyy^2=aln x
Ou seja
y^-2y'+1xy^-1=aln x

Passo 3

Agora faço a substituição de Bernoulli. Defino u=y^1-2=y^-1. A teoria diz que
u'=-(1)y^-2y'=-y^-2y'. Então y^-2y'=-u'. Substituindo na equação acima fica:
-u'+1xu=aln x

Passo 4

Reorganizo pra ver como é a equação linear em u:
u'-1xu=-aln x
Aqui o coeficiente de u é -1/x. O fator integrante é
mu(x)=e^integral(-1/x)dx=e^-ln x=x^-1

Passo 5

Multiplico a equação por x^-1, a parte esquerda vira derivada do produto ucdot x^-1:
x^-1u'-x^-2u=-a,x^-1ln x
ddxl(x^-1ur)=-aln xx
Agora integro ambos os lados em relação a x:
x^-1u=integral -aln xxdx+ C = -a2(ln x)^2 + C

Passo 6

Multiplico por x pra isolar u:
u = -a2x(ln x)^2 + Cx
Voltando y=1/u, a solução geral fica
y(x)=1xl(C-tfraca2(ln x)^2r)

Resposta

y(x)=dfrac1xl(C-tfraca2(ln x)^2r), onde C é constante de integração.

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