Uma EDO é linear de ordem 1 se pode ser escrita na forma d yd t+P y=f onde P e f são funções de uma única variável, no caso t, ou então constantes. Resolva as equações lineares de primeira ordem.
x y^prime+2 y=4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
x y′ + 2y = 4x²,
cujos coeficientes dependem de x. Vamos usar o método do fator integrante para equações na forma
y' + P(x)y = f(x).

Passo 2

Dividimos toda a equação por x (pressupondo x ≠ 0) para obter a forma padrão.
y' + 2xy = 4x
Aqui identificamos
P(x)=2x, f(x)=4x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral 2xdx=e^2ln|x|=x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^2:
x^2y' + 2xy = 4x^3
O lado esquerdo é a derivada do produto x^2y:
ddx(x^2y)=4x^3

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y=integral 4x^3,dx=x^4 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y dividindo por x^2:
y(x)=x^2 + Cx^-2 = x^2 + Cx^2

Resposta

y(x)=x^2+Cx^2

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