A solução geral da equação diferencial y^prime prime+y=0 é dada por:
y=e^a x[(C1+C2) cdot cos b x+i(C1-C2) sen b x]
Dê uma solução particular tal que y=2 e y^prime=-1 quando x=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + y = 0, sabendo que y(0)=2 e y'(0)=-1. Vamos usar a solução geral fornecida e aplicar essas condições iniciais.

Passo 2

A solução geral dada é y = e^a x[(C1 + C2),cos(bx) + i(C1 - C2),sin(bx)]. Como aqui a equação é y'' + y=0, temos a=0 e b=1, então e^0x=1 e
y = (C1 + C2)cos x + i,(C1 - C2)sin x

Passo 3

Para simplificar, definimos novos constantes reais C = C1 + C2 e D = i,(C1 - C2). Assim nossa solução fica:
y = Ccos x + Dsin x

Passo 4

Aplicando y(0)=2, obtemos y(0)=Ccos0 + Dsin0 = Ccdot1 + Dcdot0 = C = 2. Então C=2.

Passo 5

Calculamos a derivada
y' = -Csin x + Dcos x

Passo 6

E impomos y'(0)=-1:
y'(0)= -Csin0 + Dcos0 = D = -1
Logo D=-1. Substituindo C e D na expressão geral temos a solução particular desejada.

Resposta

y = 2cos x - sin x

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