Resolva a equação (em C):
x^{3}-27=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação em \mathbb{C}:
x^{3}-27=0.
Informações dadas:
  • Temos um polinômio cúbico com termo independente -27.
  • Precisamos encontrar todos os valores complexos \,x\in\mathbb{C}\, que satisfazem a equação.
  • O enunciado não fornece outras restrições; portanto queremos todas as raízes (reais e complexas).

Passo 2

Primeiro pensamento útil: 27 é um cubo perfeito, pois 27=3^{3}. Isso sugere usar a fatoração da diferença de cubos. A fórmula da diferença de cubos é a seguinte (vou explicá-la rapidinho):
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Nessa fórmula, a e b são quaisquer números (podem ser complexos). Aplicando com a=x e b=3 temos uma fatoração direta do polinômio.

Passo 3

Aplicando a diferença de cubos à nossa equação:
x^{3}-27=(x-3)\bigl(x^{2}+3x+9\bigr).
Essa fatoração está correta porque desenvolvendo o produto obtemos x^{3}-27. Agora, para achar as raízes, usamos que um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Então resolvemos
x-3=0
e
x^{2}+3x+9=0.

Passo 4

Resolver a primeira equação é direto:
x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Essa é uma raiz real e óbvia (é a raiz cúbica real de 27).

Passo 5

Agora vamos resolver a quadrática
x^{2}+3x+9=0.
Usamos a fórmula quadrática (vou lembrar a fórmula e explicar cada parte): para \;ax^{2}+bx+c=0\; a solução é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a,b,c são os coeficientes do polinômio. Aqui a=1, b=3, c=9. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot1\cdot9=9-36=-27.
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.

Passo 6

Continuando com a fórmula quadrática:
x=\frac{-3\pm\sqrt{-27}}{2}.
Agora simplificamos \sqrt{-27}. Escrevemos -27=-1\cdot27 e \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}. Como \sqrt{-1}=i, obtemos
\sqrt{-27}=i\cdot 3\sqrt{3}=3i\sqrt{3}.
Substituindo,
x=\frac{-3\pm 3i\sqrt{3}}{2}=\;-\frac{3}{2}\pm i\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Portanto as duas raízes complexas são
x=-\frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt{3}}{2} \quad\text{e}\quad x=-\frac{3}{2}-i\frac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Vamos fazer uma verificação alternativa e didática (útil para a prova): pensar em raízes cúbicas na forma polar. Toda solução da equação
x^{3}=27
pode ser obtida escrevendo 27 em forma polar como 27e^{i(2k\pi)} e tomando a raiz cúbica:
x=27^{1/3}e^{i\frac{2k\pi}{3}}=3e^{i\frac{2k\pi}{3}},\qquad k=0,1,2.
Para k=0 temos x=3 (a raiz real). Para k=1 e k=2 usamos a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Com \theta=\tfrac{2\pi}{3}=120^\circ e \theta=\tfrac{4\pi}{3}=240^\circ obtemos
e^{i\frac{2\pi}{3}}=\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2},
e^{i\frac{4\pi}{3}}=\cos\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Multiplicando por 3 recuperamos as mesmas duas raízes complexas:
3\left(-\tfrac{1}{2}\pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\tfrac{3}{2}\pm i\tfrac{3\sqrt{3}}{2}.
Isso confirma que as raízes encontradas pela fatoração/quadrática estão corretas.

Passo 8

Resumo das raízes e observação final: pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes (contando multiplicidade) no conjunto \mathbb{C}. Encontramos as três distintas raízes:
x=3,\quad x=-\tfrac{3}{2}+i\tfrac{3\sqrt{3}}{2},\quad x=-\tfrac{3}{2}-i\tfrac{3\sqrt{3}}{2}.

Resposta

x=3
x=-\tfrac{3}{2}+i\tfrac{3\sqrt{3}}{2}
x=-\tfrac{3}{2}-i\tfrac{3\sqrt{3}}{2}

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