Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma
e
.
se
e
,
se
Passo 1
O problema é a equação do calor na reta inteira com condição inicial dada por uma gaussiana. O conteúdo aqui é usar o núcleo fundamental (solução de Green) da equação do calor e convoluir com a condição inicial.
Passo 2
O núcleo fundamental da equação do calor em $-\infty<x<\infty$ é
Então a solução geral vem pela convolução
Passo 3
Aqui temos
. Logo
Passo 4
Para calcular essa integral, vamos combinar os expoentes:
Fica então
Passo 5
A integral é uma gaussiana padrão. Fazendo a mudança de variável $z=\sqrt{(4t+1)/(4t)}(y-\frac{x}{4t+1})$ obtemos
Substituindo na expressão de
dá
Resposta
$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t}}e{-x2/(1+4t)}$