Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut=ux x u(x, 0)=e^-x^2
se -infty e t>0,

Passo 1

O problema é a equação do calor na reta inteira com condição inicial dada por uma gaussiana. O conteúdo aqui é usar o núcleo fundamental (solução de Green) da equação do calor e convoluir com a condição inicial.

Passo 2

O núcleo fundamental da equação do calor em $-\infty<x<\infty$ é
-infty
Então a solução geral vem pela convolução
G(x,t)=1raiz4pi te^-x^2/(4t)

Passo 3

Aqui temos u(x,t)=integral-infty^infty1raiz4pi te^-(x-y)^2/(4t)e^-y^2,dy . Logo

Passo 4

Para calcular essa integral, vamos combinar os expoentes:
-(x-y)^2/(4t)-y^2 = -(4t+1)y^2-2xy+x^24t = -4t+14tl(y-x4t+1r)^2 - x^24t+1
Fica então
nu(x,t)=e^-x^2/(4t+1)raiz4pi tintegral-infty^inftye^-(4t+1)(y-x4t+1)^2/(4t),dy

Passo 5

A integral é uma gaussiana padrão. Fazendo a mudança de variável $z=\sqrt{(4t+1)/(4t)}(y-\frac{x}{4t+1})$ obtemos
z=raiz(4t+1)/(4t)(y-x4t+1)
Substituindo na expressão de integral-infty^inftye^-(4t+1)(y-x4t+1)^2/(4t),dy =raiz4pi t4t+1
nu(x,t)=1raiz4pi traiz4pi t4t+1e^-x^2/(4t+1) =1raiz4t+1e^-x^2/(4t+1)

Resposta

$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t}}e{-x2/(1+4t)}$

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