Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
la ut+b ux=0 u(x, 0)=f(x)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação de transporte numa dimensão:
Temos a PDE
a,ut + b,ux = 0,
para -infty < x < infty, t>0, com a condição inicial
u(x,0) = f(x)
O conteúdo é a transformada de Fourier aplicada a PDEs, e vamos precisar da definição de transformada de Fourier em x e das propriedades para derivadas em x e t.

Passo 2

Para simplificar a PDE, fazemos a transformada de Fourier de u(x,t) em relação a x. Definimos
U(omega,t) = integral-infty^infty u(x,t),e^-iomega x,dx
Usando as propriedades:
- Fut = partialt U(omega,t),
- Fux = iomega,U(omega,t),
aplicamos à PDE e obtemos
a,partialt U(omega,t) + b,(iomega),U(omega,t) = 0

Resposta

u(x,t) = f\bigl(x - \tfrac{b}{a}t\bigr)

Exercícios relacionados