Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut t=ux x u(x, 0)=raiz2pi sen xx ut(x, 0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial parcial que descreve como certas quantidades variam no espaço e no tempo. Especificamente, a equação que estamos lidando é a equação da onda, que ajuda a entender como ondas se propagam, tipo ondas no mar ou vibrações em uma corda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e transformadas de Fourier, que são ferramentas matemáticas que ajudam a lidar com funções complicadas transformando-as em formas mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação que temos:
utt = uxx
Aqui, $ u(x, t) $ representa a deslocação da onda no ponto $ x $ e no tempo $ t $. Os subscritos $ u_{tt} $ e $ u_{xx} $ significam que estamos olhando para as segundas derivadas de $ u $ em relação ao tempo $ t $ e ao espaço $ x $, respectivamente. Essa equação é a equação da onda padrão.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as condições iniciais que nos foram dadas:
u(x, 0) = raiz2pi cdot sin xx
ut(x, 0) = 0
A primeira equação nos dá a forma da onda no instante inicial $ t = 0 $, e a segunda nos diz que, nesse mesmo instante, a velocidade da onda é zero.

Passo 4

Para resolver a equação da onda com essas condições iniciais, vamos usar a transformada de Fourier. Essa é uma ferramenta que transforma funções do espaço para o espaço de frequência, simplificando a equação diferencial.
Primeiro, aplicamos a transformada de Fourier em relação a $ x $ na equação da onda:
x

Passo 5

Sabemos que a transformada de Fourier da segunda derivada espacial $ u_{xx} $ é $ -k^2 \cdot \hat{u}(k, t) $, onde $ \hat{u}(k, t) $ é a transformada de Fourier de $ u(x, t) $ e $ k $ é a variável de frequência.
Então, a equação transformada fica:
uxx

Passo 6

Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) no tempo $ t $ para cada $ k $. A solução geral dessa equação é:
t
Onde $ A(k) $ e $ B(k) $ são funções que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais na solução geral para encontrar $ A(k) $ e $ B(k) $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
A(k)
Segundo, a derivada em relação ao tempo:
B(k)

Passo 8

Usando as condições iniciais que temos:
u(k, 0) = F raiz2pi cdot sin xx = raiz2pi cdot pi cdot chi[-1,1](k) = raiz2 pi cdot chi[-1,1](k)
E
partial upartial t(k, 0) = 0
Onde $ \chi_{[-1,1]}(k) $ é a função característica do intervalo chi[-1,1](k) , ou seja, é igual a 1 se $ k $ está entre -1 e 1, e 0 caso contrário.

Passo 9

A partir disso, identificamos:
A(k) = raiz2 pi cdot chi[-1,1](k)
B(k) = 0
Isso porque a velocidade inicial é zero, então $ B(k) $ não contribui.

Passo 10

Agora, substituímos $ A(k) $ e $ B(k) $ de volta na solução geral:
A(k)

Passo 11

Para encontrar $ u(x, t) $, precisamos aplicar a transformada de Fourier inversa:
u(x, t)

Passo 12

Sabemos que:
F^-1 chi[-1,1](k) = sin xpi x
E usando propriedades de harmônicos e convoluções, podemos simplificar a expressão para obter a solução no espaço-tempo.

Passo 13

Finalmente, após resolver a transformada inversa, obtemos:
u(x, t) = raiz2pi cdot sin(raiz1 + t^2 cdot x)x

Resposta

A solução da equação da onda dada é:
u(x, t) = raiz2pi cdot sin(raiz1 + t^2 cdot x)x

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