Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma e .
Passo 1
A gente tem a equação da onda unidimensional com condições iniciais no eixo real:
Temos a PDE -infty < x < infty para $-\infty < x < \infty$ e $t>0t>0 e $u_t(x,0)=0.$ Vamos usar a fórmula de d’Alembert pra resolver.
Passo 2
Na teoria de PDEs, a solução geral da equação da onda $u_{tt}=c^2u_{xx}$ no domínio infinito é dada pela fórmula de d’Alembert:
utt=c^2uxx
onde $f(x)=u(x,0)$ e $g(x)=u_t(x,0)$.
Passo 3
No nosso caso $c=1$, f(x)=\frac{1}{4+x^2}\) e $g(x)=0$. Como o termo integral tem fator $g=0$, ele some, e sobra
c=1
Agora é só trocar $f(x)=\frac{1}{4+x^2}$ nessa fórmula.
Passo 4
Substituindo $f$, chegamos à solução final abaixo.