Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut t=ux x u(x, 0)=14+x^2 ut(x, 0)=0

Passo 1

A gente tem a equação da onda unidimensional com condições iniciais no eixo real:
Temos a PDE -infty < x < infty para $-\infty < x < \infty$ e $t>0 t>0 e $u_t(x,0)=0.$ Vamos usar a fórmula de d’Alembert pra resolver.

Passo 2

Na teoria de PDEs, a solução geral da equação da onda $u_{tt}=c^2u_{xx}$ no domínio infinito é dada pela fórmula de d’Alembert:
utt=c^2uxx
onde $f(x)=u(x,0)$ e $g(x)=u_t(x,0)$.

Passo 3

No nosso caso $c=1$, f(x)=\frac{1}{4+x^2}\) e $g(x)=0$. Como o termo integral tem fator $g=0$, ele some, e sobra
c=1
Agora é só trocar $f(x)=\frac{1}{4+x^2}$ nessa fórmula.

Passo 4

Substituindo $f$, chegamos à solução final abaixo.

Resposta

u(x,t) = 12gl(14+(x+t)^2 + 14+(x-t)^2gr).

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