Seja a função
com domínio no conjunto dos números reais. Classifique como
ou
:
Existe̊m
no domínio da função, tal que
.
Existe̊m
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = a^{x} $ definida para todos os números reais. O enunciado pergunta se existe algum número $ x $ que faz $ f(x) < 0 $. Vamos usar conhecimentos sobre funções exponenciais para descobrir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função exponencial. Ela tem a forma geral $ f(x) = a^{x} $, onde $ a $ é a base e $ x $ é o expoente. Uma característica legal das funções exponenciais é que, se a base $ a $ for positiva, o valor da função nunca fica negativo, independente do valor de $ x $.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece se a base $ a $ for positiva. Por exemplo, se $ a = 2 $, então $ f(x) = 2^{x} $. Não importa qual valor a gente escolher para $ x $, $ 2^{x} $ sempre vai dar um número positivo. Isso é verdadeiro para qualquer base positiva: $ a > 0 $.
Passo 4
Mas e se a gente considerar $ a \leq 0 $? Se $ a = 0 $, a função $ f(x) = 0^{x} $ só está definida para $ x > 0 $ e sempre dá 0, que não é negativo. Se $ a < 0 $, a função $ f(x) = a^{x} $ pode não estar bem definida para todos os números reais $ x $, especialmente se $ x $ for irracional ou uma fração com denominador par, onde resulta em números complexos ou indefinidos no conjunto dos números reais.
Passo 5
Então, analisando todas as possibilidades, concluímos que para $ f(x) = a^{x} $ com $ a > 0 $, a função nunca será negativa. E para $ a \leq 0 $, ou a função não está bem definida para todos os reais ou não resulta em valores negativos. Portanto, não existe nenhum $ x $ no domínio que faça $ f(x) < 0 $.
Resposta
F