Seja a função
com domínio no conjunto dos números reais. Classifique como
ou
:
Existe um e somente um
real para o qual
.
Existe um e somente um
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos a função $ f(x) = a^{x} $, definida para todos os números reais. A tarefa é classificar como Verdadeiro (V) ou Falso (F) a afirmação: “Existe um e somente um $ x $ real para o qual $ f(x) = 0 $.”
Vamos precisar entender como a função exponencial funciona e verificar se realmente existe algum valor de $ x $ que faz $ a^{x} = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função exponencial. Na função $ f(x) = a^{x} $, o número $ a $ é a base da função, e $ x $ é o expoente. Uma propriedade fundamental das funções exponenciais é que, para qualquer base $ a > 0 $, $ a^{x} $ nunca será igual a zero para nenhum valor real de $ x $.
Passo 3
Para entender por quê, pense que elevar um número positivo a qualquer potência real resulta sempre em um número positivo. Por exemplo:
- Se $ a = 2 $ e $ x = 3 $, então $ 2^{3} = 8 $.
- Se $ a = 2 $ e $ x = -1 $, então $ 2^{-1} = 0,5 $.
Em nenhum desses casos, ou em qualquer outro, o resultado será zero.
Passo 4
Portanto, não existe nenhum valor real de $ x $ que faça a equação $ a^{x} = 0 $ verdadeira. A função $ f(x) = a^{x} $ nunca toca o eixo $ x $ no gráfico, o que confirma que não há solução real para essa equação.
Resposta
F