Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut=14 ux x u(x, 0)= 20 & se |x| <= 1, 0 & se |x|>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor ut=tfrac14uxx em -infty, t>0, com condição inicial u(x,0)=20 se |x|<=1 e zero caso contrário. Vamos usar que a solução geral no domínio inteiro é a convolução da condição inicial com o núcleo gaussiano.

Passo 2

A solução fundamental (ou núcleo de calor) para ut=D,uxx no domínio inteiro é
G(x,t)=1raiz4pi D,texpl(-x^24D,tr)
Aqui D=tfrac14, então
G(x,t)=1raizpi,texpl(-x^2tr)

Passo 3

A solução via convolução é
u(x,t)=integral-infty^inftyG(x-y,t),u(y,0),dy
Como u(y,0)=20 só em yin[-1,1] e zero fora, fica
u(x,t)=20integral-1^11raizpi,texpl(-(x-y)^2tr)dy

Passo 4

Para avaliar essa integral de gaussiana usamos a fórmula
Aplicando com integrala^b e^-(x-y)^2tdy=raizpi,t2l[erfl(b-xraiztr)-erfl(a-xraiztr)r] , a=-1 e simplificando, obtemos

Resposta

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