Usando a transformada de Fourier, mostre a propriedade de semigrupo do núcleo de Poisson:
(Py1 * Py2)(x)=Py1+y2(x)
De posse desta propriedade resolva o problema de Dirichlet para f(x)=11+x^2. Quais são as isotermas neste caso?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o núcleo de Poisson satisfaz a propriedade de semigrupo sob convolução e, em seguida, usar essa propriedade para resolver o problema de Dirichlet no semiplano superior com condição de contorno f(x)=1/(1+x^2). Vamos usar a transformada de Fourier e depois extrair as isotermas (níveis de temperatura) da solução.

Passo 2

Precisamos lembrar que o núcleo de Poisson de altura y>0 é definido por
Py(x)=ypi,(x^2+y^2)
e que sua transformada de Fourier em x é
FPy(xi)=e^-y|xi|
Pela propriedade de convolução e de produto na frequência, temos
FPy1*Py2(xi)=FPy1(xi)cdotFPy2(xi)=e^-y1|xi|e^-y2|xi|=e^-(y1+y2)|xi|
Isso coincide com FPy1+y2(xi), então
Py1*Py2=Py1+y2

Passo 3

Para resolver o problema de Dirichlet, escrevemos a solução harmônica como
u(x,y)=(Py*f)(x)=integral-infty^+inftyPy(x-t),f(t),dt
Como f(x)=1/(1+x^2) tem transformada
Ff(xi)=pi,e^-|xi|,
pelo semigrupo obtemos na frequência
Fu(cdot,y)(xi)=FPy(xi)cdotFf(xi)=e^-y|xi|cdotpi e^-|xi|=pi e^-(y+1)|xi|

Passo 4

Invertemos a transformada para obter u(x,y). Sabemos que
integral-infty^+inftye^-a|xi|e^ixi x,dxi=2aa^2+x^2, a>0
Logo,
u(x,y)=12piintegral-infty^+inftypi e^-(y+1)|xi|e^ixi x,dxi =12cdot2(y+1)(y+1)^2+x^2 =y+1x^2+(y+1)^2
Observe que em y=0 recuperamos f(x)=1/(1+x^2).

Passo 5

Para encontrar as isotermas, fixamos u(x,y)=c>0 e resolvemos
y+1x^2+(y+1)^2=c
Isto leva a
x^2+(y+1)^2=y+1c
Fazendo Y=y+1, obtemos
x^2+Y^2=Yc Long<=ftrightarrow x^2+l(Y-12cr)^2=l(12cr)^2
Voltando a y, a equação da isoterma é
x^2+l(y+1-tfrac12cr)^2=l(tfrac12cr)^2,
ou seja, círculos de centro (0,,1-1/(2c)) e raio 1/(2c).

Resposta

A solução do problema de Dirichlet é
u(x,y)=y+1x^2+(y+1)^2,
e as isotermas (x,y):,u(x,y)=c são os círculos
x^2+l(y+1-tfrac12cr)^2=l(tfrac12cr)^2,
com centro em (0,1-tfrac12c) e raio 1/(2c).

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