Usando a transformada de Fourier, mostre a propriedade de semigrupo do núcleo de Poisson:
De posse desta propriedade resolva o problema de Dirichlet para
. Quais são as isotermas neste caso?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o núcleo de Poisson satisfaz a propriedade de semigrupo sob convolução e, em seguida, usar essa propriedade para resolver o problema de Dirichlet no semiplano superior com condição de contorno
. Vamos usar a transformada de Fourier e depois extrair as isotermas (níveis de temperatura) da solução.
Passo 2
Precisamos lembrar que o núcleo de Poisson de altura
é definido por
e que sua transformada de Fourier em
é
Pela propriedade de convolução e de produto na frequência, temos
Isso coincide com
, então
Passo 3
Para resolver o problema de Dirichlet, escrevemos a solução harmônica como
Como
tem transformada
pelo semigrupo obtemos na frequência
Passo 4
Invertemos a transformada para obter
. Sabemos que
Logo,
Observe que em
recuperamos
.
Passo 5
Para encontrar as isotermas, fixamos
>0 e resolvemos
Isto leva a
Fazendo
, obtemos
Voltando a
, a equação da isoterma é
ou seja, círculos de centro
e raio
.
Resposta
A solução do problema de Dirichlet é
e as isotermas
são os círculos
com centro em
e raio
.