Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma e .
Passo 1
A gente tem que resolver o PDE utt-4uxxt+3uxxxx=0 pra -infty0 usando transformada de Fourier em x. As condições iniciais são u(x,0)=f(x) e ut(x,0)=g(x). Vamos precisar conhecer a definição da transformada de Fourier e as propriedades que transformam derivadas em fatores de ik.
Passo 2
Aplicando a transformada de Fourier em x, definimos hat u(k,t)=integral-infty^infty u(x,t)e^-ikxdx. Como Fux=ikhat u e Fuxx=-k^2hat u, o PDE vira uma EDO em t:
hat utt(k,t)+4k^2hat ut(k,t)+3k^4hat u(k,t)=0
Passo 3
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O polinômio característico é r^2+4k^2r+3k^4=0, cujas raízes são r=-k^2 e r=-3k^2. Logo a solução geral é
hat u(k,t)=A(k)e^-k^2t+B(k)e^-3k^2t
Passo 4
Agora usamos as condições iniciais em Fourier: hat u(k,0)=hat f(k) e hat ut(k,0)=hat g(k). Calculamos
hat u(k,0)=A(k)+B(k)=hat f(k),
hat ut(k,t)=-k^2A(k)e^-k^2t-3k^2B(k)e^-3k^2t,
e em t=0:
-k^2A(k)-3k^2B(k)=hat g(k)
Passo 5
Resolvendo o sistema para A(k) e B(k) obtemos
A(k)=3k^2hat f(k)+hat g(k)2k^2,
B(k)=-k^2hat f(k)+hat g(k)2k^2
Passo 6
Substituindo de volta em hat u(k,t) e reunindo termos dá
hat u(k,t)=hat f(k)l(tfrac32e^-k^2t-tfrac12e^-3k^2tr)+hat g(k)e^-k^2t-e^-3k^2t2k^2
Passo 7
Por fim, aplicamos a inversa da transformada de Fourier: u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat u(k,t)e^ikxdk. Reconhecendo que
F^-1e^-ak^2t(x)=12raizpi a te^-x^2/(4at), chegamos à forma convolucional da solução.