Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut t=ux x x x u(x, 0)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a PDE de valor inicial
u_{tt} = u_{xxxx},
com u(x,0)=f(x) no domínio −∞<x<∞, t>0, usando transformada de Fourier em x. Como é segunda ordem em t, em princípio faltar a condição u_t(x,0); para ficar bem posto, vamos assumir u_t(x,0)=0. Vamos usar a definição
hat u(xi,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ixi x,dx
e a transformada inversa
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat u(xi,t)e^ixi x,dxi

Passo 2

Aplicamos transformada de Fourier em x na PDE. Como F[ u_{tt} ] = partialtthat u(xi,t) e F[ u_{xxxx} ] = (ixi)^4hat u(xi,t)=xi^4hat u(xi,t), obtemos a EDO em t:
partialtthat u(xi,t)=xi^4hat u(xi,t)

Passo 3

Essa EDO é de coeficientes constantes. A equação característica é
lambda=pmxi^2
com raízes hat u(xi,t)=A(xi)e^xi^2t+B(xi)e^-xi^2t . Logo a solução geral no espaço de Fourier é

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais em Fourier. De u(x,0)=f(x) vem
A(xi)=B(xi)=hat f(xi)2,
De u_t(x,0)=0 (assumido) vem
hat u(xi,t)=hat f(xi)coshl(xi^2tr)
Daí
então

Passo 5

Para voltar ao espaço físico, fazemos a transformada inversa:
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat f(xi)coshl(xi^2tr)e^ixi x,dxi
Essa integral é a representação da solução em termos de f.

Resposta

u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat f(xi)coshl(xi^2tr)e^ixi x,dxi, onde hat f(xi)=integral-infty^inftyf(x)e^-ixi x,dx.

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