Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a PDE de valor inicial
u_{tt} = u_{xxxx},
com u(x,0)=f(x) no domínio −∞<x<∞, t>0, usando transformada de Fourier em x. Como é segunda ordem em t, em princípio faltar a condição u_t(x,0); para ficar bem posto, vamos assumir u_t(x,0)=0. Vamos usar a definição
e a transformada inversa
u_{tt} = u_{xxxx},
com u(x,0)=f(x) no domínio −∞<x<∞, t>0, usando transformada de Fourier em x. Como é segunda ordem em t, em princípio faltar a condição u_t(x,0); para ficar bem posto, vamos assumir u_t(x,0)=0. Vamos usar a definição
e a transformada inversa
Passo 2
Aplicamos transformada de Fourier em x na PDE. Como F[ u_{tt} ] =
e F[ u_{xxxx} ] =
, obtemos a EDO em t:
Passo 3
Essa EDO é de coeficientes constantes. A equação característica é
com raízes . Logo a solução geral no espaço de Fourier é
com raízes
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais em Fourier. De u(x,0)=f(x) vem
De u_t(x,0)=0 (assumido) vem
Daí
De u_t(x,0)=0 (assumido) vem
Daí
então
Passo 5
Para voltar ao espaço físico, fazemos a transformada inversa:
Essa integral é a representação da solução em termos de f.