Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
ut t=ux x u(x, 0)=llcos x & se |x| <= pi2, 0 & caso contrário, ut(x, 0)=0 & á

Passo 1

A questão pede resolver a equação da onda utt=uxx no domínio -infty com condições iniciais u(x,0) dada por uma função em pedaços e ut(x,0)=0. Precisamos usar a fórmula de d’Alembert para PDEs de onda em domínio infinito.

Passo 2

A fórmula de d’Alembert diz que a solução geral é dada por
u(x,t)=12l[f(x+t)+f(x-t)r]+12integralx-t^x+tg(s),ds,
onde f(x)=u(x,0) e g(x)=ut(x,0).

Passo 3

Aqui temos g(x)=0, então a parte integral some. Assim
u(x,t)=12l[f(x+t)+f(x-t)r]

Passo 4

Precisamos agora usar f(x)=u(x,0) que é
f(x)= cos x, & |x|<=pi2, 0, & caso contrário á
Logo f(xpm t) vale cos(xpm t) quando |xpm t|<=pi2 e zero fora.

Passo 5

Substituindo obtemos a solução final em forma explícita:

Resposta

u(x,t)=12l[f(x+t)+f(x-t)r], f(s)=cos s, & |s|<=tfracpi2,0, & caso contrário á

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