Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do calor em $-\infty < x < \infty$ com condição inicial \u(x,0)=e^{-|x|}\. O conteúdo é a solução da equação do calor via núcleo fundamental (heat kernel) e a gente vai precisar usar convolução com a condição inicial, além de funções erro complementares (\erfc).
Passo 2
Para PDEs do tipo \u_t = u_{xx}\ na reta, a solução geral com condição inicial \u(x,0)=f(x)\ é dada por convolução com o heat kernel: $$
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t),f(y),dy,$$ onde $$
G(z,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e{-z2/(4t)}.$$
Passo 3
Como \f(y)=e^{-|y|}\, separamos a integral em duas partes para lidar com o \|y\|: $$ u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\Bigl(\int_{0}{\infty}e{-(x-y)2/(4t)}e{-y}dy+\int_{-\infty}{0}e{-(x-y)2/(4t)}e{y}dy\Bigr).$$ Denotamos essas duas integrais por \I_1\ e \I_2\.
Passo 4
Para calcular \I_1=\int_{0}{\infty}e{-(x-y)2/(4t)}e{-y}dy\, fazemos a combinação de quadrados no expoente. Definindo \alpha=1/(4t)\ e \beta=x/(2t)-1\, mostra-se que \I_1=\sqrt{\pi t},e^{t-x}\erfc\bigl(\sqrt{t}-\tfrac{x}{2\sqrt{t}}\bigr).\] Aqui usamos a fórmula padrão $$
\int_{0}{\infty}e{-\alpha y^2+\beta y}dy=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\alpha}}e{\beta2/(4\alpha)}\erfc\Bigl(-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\Bigr).$$ E lembramos que \erfc(z)=1-\erf(z).
Passo 5
Para \I_2=\int_{-\infty}{0}e{-(x-y)2/(4t)}e{y}dy\, fazemos a mudança de variável \y=-s\. Com isso \I_2\ fica com a mesma forma de \I_1\ mas trocando \x\ por \-x\, o que leva a $$
I_2=\sqrt{\pi t},e^{t+x}\erfc\bigl(\sqrt{t}+\tfrac{x}{2\sqrt{t}}\bigr).$$
Passo 6
Somando \I_1\ e \I_2\ e dividindo por \sqrt{4\pi t}\ obtemos finalmente $$ u(x,t)=\frac{1}{2}\Bigl[e{t-x}\erfc\bigl(\tfrac{2t-x}{2\sqrt{t}}\bigr)+e{t+x}\erfc\bigl(\tfrac{2t+x}{2\sqrt{t}}\bigr)\Bigr].$$
Passo 7
Essa expressão satisfaz \u_t=u_{xx}\ e, ao fazer \t\to 0\, recupera-se \u(x,0)=e^{-|x|}\.
Resposta
$$ u(x,t)=\frac{1}{2}\Bigl[e{t-x},\erfc\bigl(\tfrac{2t-x}{2\sqrt{t}}\bigr)+e{t+x},\erfc\bigl(\tfrac{2t+x}{2\sqrt{t}}\bigr)\Bigr].$$