Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut=ux u(x, 0)=f(x)

Passo 1

A questão pede para resolver o problema de valor inicial ut = ux, com u(x,0)=f(x), assumindo -infty e t>0. Este é um PDE de transporte simples e vamos usar transformada de Fourier em x para transformá-lo numa EDO em t.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de u(x,t) em relação a x por:
hat u(k,t) = integral-infty^infty u(x,t),e^-ikx,dx

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier na equação ut = ux, trocamos ux por ikhat u. Assim obtemos a EDO em t:
partialpartial that u(k,t) = ik,hat u(k,t)

Passo 4

Resolvendo essa EDO de coeficiente constante, temos
hat u(k,t) = C(k),e^ik t
A constante C(k) vem da condição inicial. Em t=0, hat u(k,0)=hat f(k), então
hat u(k,t) = hat f(k),e^ik t

Passo 5

Para voltar ao domínio x, fazemos a transformada inversa:
u(x,t) = 12piintegral-infty^infty hat f(k),e^ik t,e^ikx,dk = 12piintegral-infty^infty hat f(k),e^ik(x+t),dk
Pela propriedade de deslocamento da transformada de Fourier, isso é exatamente f(x+t).

Resposta

u(x,t) = f(x+t)

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