Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
A questão pede para resolver o problema de valor inicial
, com
, assumindo
e
. Este é um PDE de transporte simples e vamos usar transformada de Fourier em
para transformá-lo numa EDO em
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier de
em relação a
por:
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier na equação
, trocamos
por
. Assim obtemos a EDO em
:
Passo 4
Resolvendo essa EDO de coeficiente constante, temos
A constante
vem da condição inicial. Em
,
, então
Passo 5
Para voltar ao domínio
, fazemos a transformada inversa:
Pela propriedade de deslocamento da transformada de Fourier, isso é exatamente
.
Resposta
u(x,t) = f(x+t)