Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PDE de transporte
em
com condição inicial
. Vamos usar a transformada de Fourier em
para converter a equação numérica numa ODE em
, resolver essa ODE e depois voltar ao domínio
via transformada inversa.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier de
em
:
Como
é a condição inicial, sua transformada é
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier à PDE em
usamos linearidade e a propriedade
. Isso leva a
que é uma ODE linear de primeira ordem em
para cada
.
Passo 4
Resolvendo a ODE em
com condição inicial
obtemos
Passo 5
Para voltar ao domínio
, aplicamos a transformada inversa:
Esse integral é exatamente a representação de
deslocada.
Passo 6
Reconhecendo que a integral acima é a transformada inversa de
em um argumento deslocado, concluímos a solução no domínio físico.
Resposta
u(x,t)=f\Bigl(x-\int_{0}^{t}a(s),ds\Bigr)