Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut+a(t) ux=0 u(x, 0)=f(x),

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PDE de transporte ut + a(t),ux = 0 em -infty0 com condição inicial u(x,0)=f(x). Vamos usar a transformada de Fourier em x para converter a equação numérica numa ODE em t, resolver essa ODE e depois voltar ao domínio x via transformada inversa.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de u(x,t) em x:
hat u(k,t)=Fu(cdot,t)(k)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ikx,dx
Como f(x) é a condição inicial, sua transformada é hat f(k)=hat u(k,0).

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier à PDE em x usamos linearidade e a propriedade Fux(k)=ikhat u(k). Isso leva a
partial hat upartial t(k,t)+ik,a(t),hat u(k,t)=0,
que é uma ODE linear de primeira ordem em t para cada k.

Passo 4

Resolvendo a ODE em hat u com condição inicial hat u(k,0)=hat f(k) obtemos
hat u(k,t)=hat f(k)expl(-ikintegral0^ta(s),dsr)

Passo 5

Para voltar ao domínio x, aplicamos a transformada inversa:
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat u(k,t)e^ikx,dk =12piintegral-infty^inftyhat f(k)e^ikl(x-integral0^ta(s)dsr),dk
Esse integral é exatamente a representação de f deslocada.

Passo 6

Reconhecendo que a integral acima é a transformada inversa de hat f(k) em um argumento deslocado, concluímos a solução no domínio físico.

Resposta

u(x,t)=f\Bigl(x-\int_{0}^{t}a(s),ds\Bigr)

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