Resolva o problema da vibração da corda infinita com amortecimento (b>0) :
ut t=c^2 ux x-2 b ut & se -infty0 u(x, 0)=f(x) & se -infty

Passo 1

O problema é a equação da onda amortecida numa corda infinita, dada por
utt=c^2uxx-2b,ut,
com condições iniciais
u(x,0)=f(x),
ut(x,0)=g(x)
Vamos usar teoria de transformada de Fourier e escolha adequada de variável para eliminar o termo de amortecimento.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u(x,t)=e^-bt,w(x,t)
Esse artifício serve para isolar o amortecimento em um fator exponencial e simplificar a equação para w.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u:
ut=e^-bt(wt-b,w),
utt=e^-bt(wtt-2b,wt+b^2w),
uxx=e^-btwxx
Substituindo na PDE original e cancelando o fator e^-bt, obtemos
wtt=c^2wxx+b^2w
que é a equação de Klein–Gordon.

Passo 4

Aplicamos transformada de Fourier em x. Denotando por widehatw(k,t) a transformada de w(x,t), temos
widehatwtt(k,t)+(c^2k^2+b^2)widehatw(k,t)=0
Esse é um ODE em t cuja frequência angular é
omega(k)=raizc^2k^2+b^2

Passo 5

As condições iniciais para w são
w(x,0)=f(x),
wt(x,0)=g(x)+b,f(x)
pois wt=ut+b,u em t=0. Na transformada,
widehatw(k,0)=widehatf(k),
widehatwt(k,0)=widehatg(k)+b,widehatf(k)

Passo 6

A solução da ODE para widehatw(k,t) é
widehatw(k,t)=widehatf(k)cos(omega t)+widehatg(k)+b,widehatf(k)omegasin(omega t)
Fazendo a transformada inversa e lembrando que u=e^-btw, temos a solução final.

Resposta

A solução do problema é
u(x,t)=e^-bt12piintegral-infty^inftyl[widehatf(k)cosl(omega(k)tr)+widehatg(k)+b,widehatf(k)omega(k)sinl(omega(k)tr)r]e^ikx,dk,
onde
omega(k)=raizc^2k^2+b^2,
e
widehatf(k)=integral-infty^inftyf(x)e^-ikx,dx,
widehatg(k)=integral-infty^inftyg(x)e^-ikx,dx

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