Resolva o problema da vibração da corda infinita com amortecimento
:
Passo 1
O problema é a equação da onda amortecida numa corda infinita, dada por
com condições iniciais
Vamos usar teoria de transformada de Fourier e escolha adequada de variável para eliminar o termo de amortecimento.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
Esse artifício serve para isolar o amortecimento em um fator exponencial e simplificar a equação para
w .
Passo 3
Calculamos as derivadas de
u :
Substituindo na PDE original e cancelando o fator
e^-bt , obtemos
que é a equação de Klein–Gordon.
Passo 4
Aplicamos transformada de Fourier em
x . Denotando por
widehatw(k,t) a transformada de
w(x,t) , temos
Esse é um ODE em
t cuja frequência angular é
Passo 5
As condições iniciais para
w são
pois
wt=ut+b,u em
t=0 . Na transformada,
Passo 6
A solução da ODE para
widehatw(k,t) é
Fazendo a transformada inversa e lembrando que
u=e^-btw , temos a solução final.
Resposta
A solução do problema é
onde
e