Calcule as seguintes integrais:
integral duplaB sen(4 x^2+y^2) d x d y onde B é o mesmo conjunto de todos (x, y) tais que 4 x^2+y^2 <= 1 e y >= 0 (Faça a mesma mudança de variáveis do item anterior, notando que y >= 0 implica sen(theta) >= 0 ldots em qual intervalo o seno é positivo para theta in[0,2 pi] ?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla:
integral duplaB sen(4 x^2+y^2) , dx , dy
onde é o conjunto de todos os pontos que satisfazem e .
O que vamos precisar:
  • Mudança de variáveis para simplificar a região de integração.
  • Conhecimentos básicos de integrais duplas e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região u = 2x e v = y . A inequação u^2 + v^2 <= 1 representa uma elipse. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforme essa elipse em um círculo.
Vamos definir:
Assim, a inequação fica:
Agora, e variam dentro de um círculo unitário.

Passo 3

Com essa mudança, precisamos calcular o determinante jacobiano para ajustar o elemento de área partial(u, v)partial(x, y) = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = 2 & 0 0 & 1 = 2 times 1 - 0 times 0 = 2 .
Calculando as derivadas parciais:

[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =


= 2 \times 1 - 0 \times 0 = 2
]
Então, .

Passo 4

Vamos reescrever a integral na nova coordenada:
Note que integral duplaB sen(4 x^2 + y^2) , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 1, v >= 0 senu^2 + v^2 cdot 12 , du , dv .

Passo 5

Agora, como estamos integrando sobre um círculo, é legal usar coordenadas polares. Vamos definir:
u = r cos theta e v = r sin theta
Com isso, o elemento de área vira .
Além disso, a condição significa que , ou seja, está no intervalo de a radianos.

Passo 6

Substituindo tudo na integral:
Vamos primeiro integrar em relação a integral duplau^2 + v^2 <= 1, v >= 0 senu^2 + v^2 cdot 12 , du , dv = 12 integral0^pi integral0^1 sen(r^2) cdot r , dr , dtheta :
integral0^1 r cdot sen(r^2) , dr
Fazendo uma substituição 12 integral0^1 sen(t) , dt = 12 ( -cos(t) |0^1 ) = 12 ( -cos(1) + cos(0) ) , então 12 ( 1 - cos(1) ) , ou seja, 12 integral0^pi ( 12 (1 - cos(1)) ) dtheta = 1 - cos(1)4 cdot pi . Quando , ; quando , .
Portanto, a integral se torna:
Como :
Agora, voltamos à integral externa em relação a :

Resposta

A integral dupla é igual a:
pi4 (1 - cos(1))

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