Calcule as seguintes integrais: onde é o mesmo conjunto de todos tais que e (Faça a mesma mudança de variáveis do item anterior, notando que implica em qual intervalo o seno é positivo para ?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla:
onde é o conjunto de todos os pontos que satisfazem e .
O que vamos precisar:
Mudança de variáveis para simplificar a região de integração.
Conhecimentos básicos de integrais duplas e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A inequação representa uma elipse. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforme essa elipse em um círculo.
Vamos definir:
Assim, a inequação fica:
Agora, e variam dentro de um círculo unitário.
Passo 3
Com essa mudança, precisamos calcular o determinante jacobiano para ajustar o elemento de área .
Calculando as derivadas parciais:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
= 2 \times 1 - 0 \times 0 = 2
]
Então, .
Passo 4
Vamos reescrever a integral na nova coordenada:
Note que integral duplaB sen(4 x^2 + y^2) , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 1, v >= 0 senu^2 + v^2 cdot 12 , du , dv .
Passo 5
Agora, como estamos integrando sobre um círculo, é legal usar coordenadas polares. Vamos definir:
u = r cos theta e v = r sin theta
Com isso, o elemento de área vira .
Além disso, a condição significa que , ou seja, está no intervalo de a radianos.
Passo 6
Substituindo tudo na integral:
Vamos primeiro integrar em relação a integral duplau^2 + v^2 <= 1, v >= 0 senu^2 + v^2 cdot 12 , du , dv = 12 integral0^pi integral0^1 sen(r^2) cdot r , dr , dtheta :
integral0^1 r cdot sen(r^2) , dr
Fazendo uma substituição 12 integral0^1 sen(t) , dt = 12 ( -cos(t) |0^1 ) = 12 ( -cos(1) + cos(0) ) , então 12 ( 1 - cos(1) ) , ou seja, 12 integral0^pi ( 12 (1 - cos(1)) ) dtheta = 1 - cos(1)4 cdot pi . Quando , ; quando , .