Suponha que G(x) tenha um período 2 L em vez de 2 pi. Então G(x+2 L)=G(x) e as funções básicas da série de Fourier precisam mudar de exp (i k x) para exp (i k pi x / L). Explique por que e deriva uma fórmula para os coeficientes de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede para generalizar a série de Fourier de período 2π para um período genérico 2L, explicando por que as exponenciais mudam de e^ikx para e^i k pi x /L e derivando a fórmula dos coeficientes.

Passo 2

Se uma função G(x) tem período 2L, isto é, G(x+2L)=G(x), seu modo fundamental deve satisfazer e^iomega0(x+2L)=e^iomega0 x. Daí e^iomega0 2L=1, o que implica omega0=2pi2L=piL. Por isso a base de exponenciais é e^i npi x/L.

Passo 3

Podemos então escrever a série de Fourier complexa como
G(x)=sumn=-infty^inftycn,e^i npi x/L

Passo 4

Para encontrar cn, usamos o método padrão: multiplicamos ambos os lados por e^-i mpi x/L e integramos sobre um período de comprimento 2L. Escolhendo o intervalo de integração de -L a +L, temos
integral-L^LG(x)e^-i mpi x/L,dx=sumn=-infty^inftycnintegral-L^Le^i(n-m)pi x/L,dx

Passo 5

Pela ortogonalidade das exponenciais,
integral-L^Le^i(n-m)pi x/L,dx=2L,&n=m,0,&nneq m,
só sobrevive o termo n=m, levando a
integral-L^LG(x)e^-i mpi x/L,dx=2L,cm

Resposta

Os coeficientes de Fourier são
cn=12Lintegral-L^LG(x)e^-i npi x/L,dx

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