Suponha que
tenha um período
em vez de
. Então
e as funções básicas da série de Fourier precisam mudar de
para
. Explique por que e deriva uma fórmula para os coeficientes de Fourier.
Passo 1
O enunciado pede para generalizar a série de Fourier de período 2π para um período genérico 2L, explicando por que as exponenciais mudam de
para
e derivando a fórmula dos coeficientes.
Passo 2
Se uma função
tem período
, isto é,
, seu modo fundamental deve satisfazer
. Daí
, o que implica
. Por isso a base de exponenciais é
.
Passo 3
Podemos então escrever a série de Fourier complexa como
Passo 4
Para encontrar
, usamos o método padrão: multiplicamos ambos os lados por
e integramos sobre um período de comprimento
. Escolhendo o intervalo de integração de
a
, temos
Passo 5
Pela ortogonalidade das exponenciais,
só sobrevive o termo
Resposta
Os coeficientes de Fourier são