Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de terceira ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de ordem superior, encontrar a solução geral da equação homogênea, uma solução particular da equação completa e, por fim, aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo $ y = e^{r x} $ na equação homogênea:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Percebemos que $ r = 1 $ é uma raiz, pois substituindo:
Então, podemos fatorar $ (r - 1) $ da equação:
Agora, resolvemos $ r^2 - 2 r + 1 = 0 $:
Então, temos uma raiz real múltipla $ r = 1 $ de multiplicidade 3.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
Vamos separar o lado direito em duas partes: $ x $ e $ -4 e^{x} $. Encontraremos soluções particulares para cada uma dessas partes e depois somaremos.
Passo 6
Primeiro, encontramos a solução particular para $ x $:
Assumimos uma forma simples para $ y_{p1} $:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para $ x $ é:
Passo 7
Agora, encontramos a solução particular para $ -4 e^{x} $:
Notamos que $ e^{x} $ já está na solução homogênea, então precisamos multiplicar por $ x $ para ajustar nossa suposição.
Assumimos:
Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando os coeficientes de $ x^2 $, $ x $ e os termos constantes:
Para $ x^2 $:
Para $ x $:
Para os constantes:
Então, a equação reduzida é:
Comparando os coeficientes:
Como não há termos com $ B $, podemos escolher $ B = 0 $.
Então, a solução particular é:
Passo 8
Agora, somamos as soluções particulares:
Então, a solução geral da equação completa é:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1, C_2, C_3 $.
Primeira condição: $ y(1) = 2 $
Substituindo $ x = 1 $:
Simplificando:
Rearranjando:
Fatorando $ e $:
Então:
Passo 10
Segunda condição: $ y’(1) = 1 $
Primeiro, encontramos a derivada $ y’(x) $:
Simplificando:
Substituindo $ x = 1 $:
Simplificando:
Rearranjando:
Fatorando $ e $:
Então:
Passo 11
Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
- $ C_1 + C_2 + C_3 = \frac{6}{e} - \frac{4}{3} $
- $ C_1 + 2 C_2 + 3 C_3 = \frac{2}{e} - \frac{8}{3} $
Observamos que falta uma equação para resolver o sistema completamente. Isso ocorre porque a equação original é de terceira ordem, mas temos apenas duas condições iniciais. Geralmente, precisaríamos de uma terceira condição para determinar todas as constantes. Entretanto, com as informações fornecidas, podemos expressar uma das constantes em termos das outras.
Passo 12
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar $ C_1 $:
Simplificando:
Então, podemos expressar $ C_2 $ em termos de $ C_3 $:
Passo 13
Substituindo $ C_2 $ na primeira equação:
Simplificando:
Isolando $ C_1 $:
Passo 14
Então, a solução geral com as constantes expressas em termos de $ C_3 $ é:
Podemos simplificar mais, mas como temos uma constante livre $ C_3 $, a solução depende dela.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, satisfazendo as condições iniciais, é:
Onde $ C_3 $ é uma constante arbitrária determinada por uma terceira condição inicial, caso disponível.