Teste a simetria em relação a cada eixo e à origem.
Passo 1
O enunciado pede para testar a simetria do gráfico da função y=|x^3+x| em relação aos eixos cartesianos e à origem. O conteúdo é sobre simetria de funções: simetria ao eixo y (função par), simetria à origem (função ímpar) e simetria ao eixo x.
Passo 2
Definimos f(x)=|x^3+x|. Para verificar simetria ao eixo y, precisamos comparar f(-x) com f(x).
Calculamos:
f(-x)=|(-x)^3+(-x)|=|-x^3-x|=|-(x^3+x)|=|x^3+x|=f(x)
Como f(-x)=f(x), a função é par e, portanto, simétrica em relação ao eixo y.
Passo 3
Para simetria à origem, requer-se f(-x)=-f(x). Já vimos que f(-x)=f(x), então f(-x)neq -f(x) em geral. Logo, não há simetria em relação à origem.
Passo 4
Para simetria ao eixo x, o gráfico deveria satisfazer que, sempre que (x,y) está na curva, (x,-y) também está. Mas f(x)=|x^3+x|>=0 para todo x, então não existem pontos com y<0. Portanto, não há simetria em relação ao eixo x.
Resposta
O gráfico é simétrico apenas em relação ao eixo y.