Resolva a equação completando o quadrado.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede para resolver a equação (encontrar todos os valores de
que satisfazem a igualdade) usando o método de completar o quadrado.
Passo 2
Ideia do método “completar o quadrado” (explicação didática). Para uma expressão do tipo
é útil reconhecer que ela fica quase igual a um quadrado perfeito, porque
Ou seja, adicionando e subtraindo
podemos transformar
em um quadrado perfeito mais um termo constante. Aqui
é um número que corresponde à metade do coeficiente de
na expressão original: se o coeficiente de
é
, então
e portanto
.
Passo 3
Aplicando ao caso concreto: escrevemos o termo quadrático como
e usamos a identidade acima:
Portanto, para transformar
em um quadrado perfeito temos de acrescentar
.
Passo 4
Como a igualdade deve ser preservada, acrescentamos
em ambos os lados da equação original:
O lado esquerdo torna-se o quadrado perfeito e o direito simplifica:
Passo 5
Agora resolvemos a equação quadrada igualando a raiz quadrada de ambos os lados. Como ao tirar raiz de um quadrado surge a parte positiva e negativa, temos
o que é equivalente a duas equações lineares:
Passo 6
Resolvendo cada uma:
Passo 7
Verificação rápida (substituição na equação original):
Para :
Para
ok.
Para :
Para
ok. Ambas as soluções satisfazem a equação.