Resolva a equação completando o quadrado.
x^{2}+6 x=7

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
x^{2}+6x=7
e pede para resolver a equação (encontrar todos os valores de x que satisfazem a igualdade) usando o método de completar o quadrado.

Passo 2

Ideia do método “completar o quadrado” (explicação didática). Para uma expressão do tipo
x^{2}+2bx
é útil reconhecer que ela fica quase igual a um quadrado perfeito, porque
(x+b)^{2}=x^{2}+2bx+b^{2}.
Ou seja, adicionando e subtraindo b^{2} podemos transformar x^{2}+2bx em um quadrado perfeito mais um termo constante. Aqui b é um número que corresponde à metade do coeficiente de x na expressão original: se o coeficiente de x é 6, então 2b=6 e portanto b=3.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto: escrevemos o termo quadrático como x^{2}+2\cdot3x e usamos a identidade acima:
(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9.
Portanto, para transformar x^{2}+6x em um quadrado perfeito temos de acrescentar 9.

Passo 4

Como a igualdade deve ser preservada, acrescentamos 9 em ambos os lados da equação original:
x^{2}+6x+9=7+9.
O lado esquerdo torna-se o quadrado perfeito e o direito simplifica:
(x+3)^{2}=16.

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrada igualando a raiz quadrada de ambos os lados. Como ao tirar raiz de um quadrado surge a parte positiva e negativa, temos
|x+3|=4,
o que é equivalente a duas equações lineares:
x+3=4\quad\text{ou}\quad x+3=-4.

Passo 6

Resolvendo cada uma:
x+3=4 \Rightarrow x=1,
x+3=-4 \Rightarrow x=-7.

Passo 7

Verificação rápida (substituição na equação original):
Para x=1:
1^{2}+6\cdot1=1+6=7,
ok.
Para x=-7:
(-7)^{2}+6\cdot(-7)=49-42=7,
ok. Ambas as soluções satisfazem a equação.

Resposta

x=1
x=-7

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