Resolva a equação extraindo as raízes quadradas.
(2 x+3)^{2}=169

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação por extração de raízes quadradas. A equação fornecida é:
(2x+3)^{2}=169.
Informações dadas:
  • A expressão ao quadrado é (2x+3).
  • O lado direito é o número 169.
  • Deve-se encontrar os valores de x que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Entendendo a técnica de extrair raízes quadradas (a regra geral).
Se tivermos uma equação do tipo (A)^{2}=B, onde A é uma expressão em x e B é um número real, então:
  • Primeiro é necessário que B\ge 0 para existirem raízes reais, porque um quadrado não pode ser negativo no conjunto dos reais.
  • Quando B\ge 0, vale a relação |A|=\sqrt{B}. Aqui |A| é o valor absoluto de A e \sqrt{B} é a raiz quadrada não negativa de B.
  • A igualdade |A|=\sqrt{B} se transforma em duas possibilidades equivalentes:
A=\sqrt{B}\quad\text{ou}\quad A=-\sqrt{B}.
Isso corresponde ao fato de que tanto um número positivo quanto o seu negativo têm o mesmo quadrado.

Passo 3

Aplicando a regra ao problema: identifique A e B.
Aqui A=2x+3 e B=169. Observamos que 169\ge 0, então podemos aplicar a regra:
|2x+3|=\sqrt{169}.
Calcule \sqrt{169}: como 13^{2}=169, tem-se \sqrt{169}=13. Assim:
|2x+3|=13.

Passo 4

Converter a equação com valor absoluto em duas equações lineares.
Da igualdade |2x+3|=13 seguem duas possibilidades:
2x+3=13
ou
2x+3=-13.

Passo 5

Resolver a primeira equação linear 2x+3=13.
Subtraindo 3 dos dois lados:
2x=13-3.
Calcule o lado direito:
2x=10.
Dividindo por 2:
x=\frac{10}{2}=5.

Passo 6

Resolver a segunda equação linear 2x+3=-13.
Subtraindo 3 dos dois lados:
2x=-13-3.
Calcule o lado direito:
2x=-16.
Dividindo por 2:
x=\frac{-16}{2}=-8.

Passo 7

Verificar as soluções encontradas por substituição (checagem rápida).
  • Para x=5:
(2\cdot 5+3)^{2}=(10+3)^{2}=13^{2}=169,
logo x=5 satisfaz a equação.
  • Para x=-8:
(2\cdot(-8)+3)^{2}=(-16+3)^{2}=(-13)^{2}=169,
logo x=-8 também satisfaz a equação.

Passo 8

Observações finais e regra prática para a prova.
  • Resumo do método: se tiver (\text{expressão})^{2}=cã com c\ge 0, faça \text{expressão}=\pm\sqrt{c}ã e resolva as duas equações lineares resultantes.
  • Se c<0, não há solução real.
  • No caso c=0, há uma única solução (a expressão deve ser zero).

Resposta

\,x=5
\,x=-8

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